벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — CLP-4 · 1.1절 · 27번

CLP-4 · 1.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

$C$ 를 곡면 $y=x^2$ 과 $z=\frac{2}{3}x^3$ 의 교선이 만드는 곡선이라 하자. 한 입자가 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ 이고 일정한 속력으로 $C$ 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 $t=0$ 에 $(0,0,0)$ 에 있고, 시각 $t=\frac{7}{2}$ 에 $(3,9,18)$ 에 있다.

(a) $C$ 에서 $(0,0,0)$ 과 $(3,9,18)$ 사이 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때 입자의 속도를 구하세요. (d) 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있을 때 입자의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $C$ be the curve of intersection of the surfaces $y=x^2$ and $z=\frac{2}{3}x^3$ . A particle moves along $C$ with constant speed such that $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ . The particle is at $(0,0,0)$ at time $t=0$ and is at $(3,9,18)$ at time $t=\frac{7}{2}$ .

(a) Find the length of the part of $C$ between $(0,0,0)$ and $(3,9,18)$ . (b) Find the constant speed of the particle. (c) Find the velocity of the particle when it is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ . (d) Find the acceleration of the particle when it is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ .

정답·풀이 보기

(a) $C$ 를 $x$ 로 매개화한다. $y=x^2$ 이고 $z=\frac{2}{3}x^3$ 이므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2 \end{aligned}$

이고 $\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$

(b) 입자는 $\frac{7}{2}$ 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 이동했다. 따라서 속력은 $\frac{21}{7/2}=6$ 이다.

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ (a), (b)와 합성함수의 미분법에 의해 $6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$ 특히, 입자가 $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ 에 있는 때는 $x=1$ 일 때이다. 이때 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ 이고 $\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 를 적용하면 $0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 특히, $x=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ 일 때, $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ 에서 $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ 이고 $\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Parametrize $C$ by $x$ . Since $y=x^2$ and $z=\frac{2}{3}x^3$ ,

and $\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21$

(b) The particle travelled a distance of 21 units in $\frac{7}{2}$ time units. This corresponds to a speed of $\frac{21}{7/2}=6$ .

(c) Denote by $\mathbf{R}(t)$ the position of the particle at time $t$ . Then $\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ By parts (a) and (b) and the chain rule $6=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2}$ In particular, the particle is at $\big(1,1,\frac{2}{3}\big)$ at $x=1$ . At this time $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2$ and $\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}$

(d) By the product and chain rules, $\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ Applying $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ to $6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)$ gives $0=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ In particular, when $x=1$ and $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2$ , $0=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$ gives $\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3}$ and $\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 30번우리말 번역

전체 길이가 1000cm인 철사를 원형 나선 모양의 유연한 코일로 만들었습니다. 높이 1 cm마다 10번씩 감겨 있고 나선의 반지름이 3 cm일 때, 코일의 높이는 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

일반적으로 나선은 다음과 같이 매개변수로 나타낼 수 있다.

$\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}$

먼저 $a$ 와 $b$ 를 구해야 한다. 나선의 반지름이 $3$ cm이므로 $a=3$ cm이다. 10번 감긴 후(즉 $\theta=20\pi$ ) 높이 $b\theta$ 는 1 cm이다. 따라서 $b(20\pi)=1$ 이고 $b=\frac{1}{20\pi}$ cm/rad이다. 그러므로 $\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

나선이 한 바퀴 감길 때마다(즉 $\theta$ 가 $2\pi$ 만큼 증가할 때마다) 나선의 높이는 $2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}$ 만큼 증가한다. 따라서 나선 한 바퀴에 들어가는 철사의 길이를 구하면, 나선이 모두 몇 바퀴 감기는지 쉽게 구할 수 있고, 이로부터 나선의 전체 높이를 구할 수 있다.

$\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}$ 이다. 따라서 나선 한 바퀴의 길이는

$\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}$

이고, 1000cm의 철사로는

$\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}$

바퀴를 만들 수 있다. 한 바퀴마다 높이가 $\frac{1}{10}\textrm{cm}$ 씩 늘어나므로 전체 높이는

$\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}$

이다.

참고. 각 바퀴가 늘리는 높이는 (반지름에 비해) 매우 작다는 점을 이용하면 이 답이 타당한지 확인할 수 있다. 따라서 한 바퀴의 길이는 반지름이 같은 원의 둘레, 즉 $6\pi$ 와 거의 같을 것으로 예상된다. 철사로 실제 원을 만든다면 $\frac{1000}{6\pi}$ 개를 만들 수 있다. 1 cm당 10개씩 쌓으면 높이는 $\frac{1000}{6\pi\cdot 10}$ cm가 된다. 이 값도 약 $5.3$ cm이므로 우리가 구한 결과가 타당하다고 할 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류