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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

전체 길이가 1000cm인 철사를 원형 나선 모양의 유연한 코일로 만들었습니다. 높이 1 cm마다 10번씩 감겨 있고 나선의 반지름이 3 cm일 때, 코일의 높이는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A wire of total length 1000cm is formed into a flexible coil that is a circular helix. If there are 10 turns to each centimetre of height and the radius of the helix is 3 cm, how tall is the coil?

정답·풀이 보기

일반적으로 나선은 다음과 같이 매개변수로 나타낼 수 있다.

r(θ)=acos⁡θ ı^+asin⁡θ ȷ^+bθ k^\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}

먼저 aa와 bb를 구해야 한다. 나선의 반지름이 33 cm이므로 a=3a=3 cm이다. 10번 감긴 후(즉 θ=20π\theta=20\pi) 높이 bθb\theta는 1 cm이다. 따라서 b(20π)=1b(20\pi)=1이고 b=120πb=\frac{1}{20\pi}cm/rad이다. 그러므로 r(θ)=3cos⁡θ ı^+3sin⁡θ ȷ^+120πθk^\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}이다.

나선이 한 바퀴 감길 때마다(즉 θ\theta가 2π2\pi만큼 증가할 때마다) 나선의 높이는 2πb=110cm2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}만큼 증가한다. 따라서 나선 한 바퀴에 들어가는 철사의 길이를 구하면, 나선이 모두 몇 바퀴 감기는지 쉽게 구할 수 있고, 이로부터 나선의 전체 높이를 구할 수 있다.

r′(θ)=−3sin⁡θ ı^+3cos⁡θ ȷ^+120πk^\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}}이므로 dsdθ=∣r′(θ)∣=9+1400π2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}이다. 따라서 나선 한 바퀴의 길이는

∫02π9+1400π2 dθ=2π9+1400π2\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}

이고, 1000cm의 철사로는

10002π9+1400π2=500π9+1400π2\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}

바퀴를 만들 수 있다. 한 바퀴마다 높이가 110cm\frac{1}{10}\textrm{cm}씩 늘어나므로 전체 높이는

500π9+1400π2⋅110=50π9+1400π2≈5.3 cm\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}

이다.

참고. 각 바퀴가 늘리는 높이는 (반지름에 비해) 매우 작다는 점을 이용하면 이 답이 타당한지 확인할 수 있다. 따라서 한 바퀴의 길이는 반지름이 같은 원의 둘레, 즉 6π6\pi와 거의 같을 것으로 예상된다. 철사로 실제 원을 만든다면 10006π\frac{1000}{6\pi}개를 만들 수 있다. 1 cm당 10개씩 쌓으면 높이는 10006π⋅10\frac{1000}{6\pi\cdot 10}cm가 된다. 이 값도 약 5.35.3cm이므로 우리가 구한 결과가 타당하다고 할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

In general a helix can be parametrized by

r(θ)=acos⁡θ ı^+asin⁡θ ȷ^+bθ k^\mathbf{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+b\theta\,\hat{\mathbf{k}}

Our first task is to determine aa and bb. The radius of the helix is 33 cm, so a=3a=3 cm. After 10 turns (i.e. θ=20π\theta=20\pi) the height, bθb\theta, is 1 cm. So b(20π)=1b(20\pi)=1 and b=120πb=\frac{1}{20\pi}cm/rad. Thus r(θ)=3cos⁡θ ı^+3sin⁡θ ȷ^+120πθk^\mathbf{r}(\theta)=3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\theta\hat{\mathbf{k}}.

With each full turn of the helix (i.e. each increase of θ\theta by 2π2\pi) the height of the helix increases by 2πb=110cm2\pi b=\frac{1}{10}\textrm{cm}. So if we can determine the length of wire in one full turn of the helix, we can easily determine how many turns the helix goes through in total, and from that we can determine the total height of the helix.

As r′(θ)=−3sin⁡θ ı^+3cos⁡θ ȷ^+120πk^\mathbf{r}'(\theta)=-3\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{20\pi}\hat{\mathbf{k}} we have dsdθ=∣r′(θ)∣=9+1400π2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\big|\mathbf{r}'(\theta)\big|=\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}. So the length of one full turn of the helix is

∫02π9+1400π2 dθ=2π9+1400π2\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}\ \mathrm{d}\theta &=2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}} \end{aligned}

and 1000cm of wire generates

10002π9+1400π2=500π9+1400π2\frac{1000}{2\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} =\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}

turns. Each turn adds 110cm\frac{1}{10}\textrm{cm} to the height, so the total height is

500π9+1400π2⋅110=50π9+1400π2≈5.3 cm\frac{500}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}}\cdot \frac{1}{10} =\frac{50}{\pi\sqrt{9+\frac{1}{400\pi^2}}} \approx 5.3\textrm{ cm}

Remark. We can check that this answer is reasonable by taking advantage of the fact that each coil adds only a very small height (relative to the radius). So we expect the length of one coil to be about the same as the circumference of a circle of the same radius, namely 6π6\pi. If we were making actual circles of the wire, there would be 10006π\frac{1000}{6\pi} of them. Stacking up at 10 per centimetre, this would make a pile of height 10006π⋅10\frac{1000}{6\pi\cdot 10}cm. Since this number is also approximately 5.35.3cm, we feel our result is reasonable.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 26번우리말 번역

질량이 m=1m = 1 인 입자가 시각 00 에서 위치 r0=12 k^\mathbf{r}_0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 이고 속도 v0=π22 ı^\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 이다. 이 입자는 다음 힘을 받아 움직인다.

F(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^.\mathbf{F}(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) 입자의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 를 tt 에 대한 식으로 구하세요. (b) 시각 t=0t = 0 이후 입자가 평면 x=0x = 0 을 처음으로 지나는 시각은 언제인지 구하세요. (c) (b)에서 입자가 평면 x=0x = 0 을 지날 때의 속도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 뉴턴의 법칙에 따라

mr′′(t)=F(t)이므로r′′(t)=−3t ı^+sin⁡t ȷ^+2e2t k^m\mathbf{r}''(t) = \mathbf{F}(t)\qquad\text{이므로}\qquad \mathbf{r}''(t) = -3t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}

한 번 적분하면

r′(t)=−3t22 ı^−cos⁡t ȷ^+e2t k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = -3\frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} - \cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}} +\mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 r′(0)=v0=π22 ı^\mathbf{r}'(0)=\mathbf{v}_0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 에서 c=π22 ı^+ȷ^−k^\mathbf{c}=\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} 이므로

r′(t)=(π22−3t22) ı^+(1−cos⁡t) ȷ^+(e2t−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) = \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3t^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2t}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

한 번 더 적분하면

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^+c\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} + \mathbf{c} \end{aligned}

이다. 여기서 c\mathbf{c} 는 (앞의 것과는 다른) 어떤 상수 벡터이다. 주어진 조건 r(0)=r0=12 k^\mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0 =\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} 에서 c=0\mathbf{c}=\mathbf{0} 이므로

r(t)=(π2t2−t32) ı^+(t−sin⁡t) ȷ^+(12e2t−t) k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(t- \sin t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \left(\frac{1}{2}e^{2t}-t\right)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(b) 입자가 평면 x=0x=0 위에 있는 것은

0=(π2t2−t32)=t2(π2−t2)  ⟺  t=0,±π\begin{aligned} 0=\left(\frac{\pi^2 t}{2}-\frac{t^3}{2}\right) =\frac{t}{2}(\pi^2-t^2) \iff t=0, \pm\pi \end{aligned}

일 때이다. 따라서 구하는 시각은 t=πt=\pi 이다.

(c) 시각 t=πt=\pi 에서의 속도는

r′(π)=(π22−3π22) ı^+(1−cos⁡π) ȷ^+(e2π−1) k^=−π2 ı^+2 ȷ^+(e2π−1) k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(\pi) &= \left(\frac{\pi^2}{2}-\frac{3\pi^2}{2}\right)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(1- \cos\pi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \\ &= -\pi^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \big(e^{2\pi}-1\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

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