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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

기둥에 설치된 카메라는 한 바퀴 전체를 돌 수 있다. 이 카메라가 한 물체를 추적하고 있는데, 시각 tt초에서 그 물체의 위치는 기둥으로부터 동쪽으로 x(t)x(t) 미터, 북쪽으로 y(t)y(t) 미터이다.

카메라가 항상 물체를 똑바로 향하려면, 시각 tt에서 카메라가 얼마나 빠르게 회전하도록 프로그램해야 하는지 구하세요. (답은 x(t)x(t), y(t)y(t) 및 이들의 도함수를 이용하여 rad/sec 단위로 나타내세요.)

영어 원문 보기

A camera mounted to a pole can swivel around in a full circle. It is tracking an object whose position at time tt seconds is x(t)x(t) metres east of the pole, and y(t)y(t) metres north of the pole.

In order to always be pointing directly at the object, how fast should the camera be programmed to rotate at time tt? (Give your answer in terms of x(t)x(t) and y(t)y(t) and their derivatives, in the units rad/sec.)

정답·풀이 보기

이 문제는 이미 카메라를 원점으로 하는 xyxy평면으로 설정되어 있으므로, 카메라가 향하는 방향의 벡터는 (x(t),y(t))(x(t),y(t))이다. θ\theta를 카메라가 양의 xx축(정동쪽)과 이루는 각이라 하자. 카메라, 물체, 정동쪽 방향(양의 xx축)은 직각삼각형을 이룬다.

그림

tan⁡θ=yxt에 대해 음함수 미분하면:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{$t$에 대해 음함수 미분하면:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The question is already set up as an xyxy-plane, with the camera at the origin, so the vector in the direction the camera is pointing is (x(t),y(t))(x(t),y(t)). Let θ\theta be the angle the camera makes with the positive xx-axis (due east). The camera, the object, and the due-east direction (positive xx-axis) make a right triangle.

figure

tan⁡θ=yxDifferentiating implicitly with respect to t:sec⁡2θ dθdt=xy′−yx′x2dθdt=cos⁡2θ(xy′−yx′x2)=(xx2+y2)2(xy′−yx′x2)=xy′−yx′x2+y2\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{y}{x}\\ \text{Differentiating implicitly with respect to $t$:} \\ \sec^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{xy'-yx'}{x^2}\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\cos^2\theta\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\left(\frac{xy'-yx'}{x^2}\right)=\frac{xy'-yx'}{{x^2+y^2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 27번우리말 번역

CC 를 곡면 y=x2y=x^2 과 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 의 교선이 만드는 곡선이라 하자. 한 입자가 dxdt>0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0 이고 일정한 속력으로 CC 를 따라 움직인다. 이 입자는 시각 t=0t=0 에 (0,0,0)(0,0,0) 에 있고, 시각 t=72t=\frac{7}{2} 에 (3,9,18)(3,9,18) 에 있다.

(a) CC 에서 (0,0,0)(0,0,0) 과 (3,9,18)(3,9,18) 사이 부분의 길이를 구하세요. (b) 입자의 일정한 속력을 구하세요. (c) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때 입자의 속도를 구하세요. (d) 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있을 때 입자의 가속도를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) CC 를 xx 로 매개화한다. y=x2y=x^2 이고 z=23x3z=\frac{2}{3}x^3 이므로

r(x)=x ı^+x2 ȷ^+23x3 k^r′(x)=ı^+2x ȷ^+2x2 k^r′′(x)=2 ȷ^+4x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+4x2+4x4=1+2x2\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2x^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4x\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} &=|\mathbf{r}'(x)| =\sqrt{1+4x^2+4x^4}=1+2x^2 \end{aligned}

이고 ∫C ds=∫03dsdx dx=∫03(1+2x2) dx=[x+23x3]03=21\int_C \ \mathrm{d}s =\int_0^3 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^3 \big(1+2x^2\big)\ \mathrm{d}x ={\Big[x+\frac{2}{3}x^3\Big]}_0^3 =21

(b) 입자는 72\frac{7}{2} 시간 단위 동안 21 단위의 거리를 이동했다. 따라서 속력은 217/2=6\frac{21}{7/2}=6 이다.

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} (a), (b)와 합성함수의 미분법에 의해 6=dsdt=dsdxdxdt=(1+2x2)dxdt  ⟹  dxdt=61+2x26=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1+2x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2x^2} 특히, 입자가 (1,1,23)\big(1,1,\frac{2}{3}\big) 에 있는 때는 x=1x=1 일 때이다. 이때 dxdt=61+2×1=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{6}{1+2\times 1}=2 이고 R′=r′(1)dxdt=(ı^+2 ȷ^+2 k^)2=2ı^+4 ȷ^+4 k^\mathbf{R}'=\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)2 =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 R′(t)=r′(x(t))dxdt  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt)2+r′(x(t))d2xdt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big){\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 6=(1+2x(t)2)dxdt(t)6=\big(1+2x(t)^2\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) 의 양변에 ddt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 를 적용하면 0=4x(dxdt)2+(1+2x2)d2xdt20=4x{\Big(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Big)}^2+(1+2x^2)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 특히, x=1x=1 이고 dxdt=2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2 일 때, 0=4×1(2)2+(3)d2xdt20=4\times 1\big(2\big)^2+(3)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2} 에서 d2xdt2=−163\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{16}{3} 이고 R′′=(2 ȷ^+4 k^)(2)2−(ı^+2 ȷ^+2 k^)163=−83(2ı^+ ȷ^−2 k^)\mathbf{R}''=\big(2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\big(2\big)^2 -\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{16}{3} = -\frac{8}{3}\big(2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\,\hat{\mathbf{k}}\big)

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# 벡터함수의 미분과 적분활용도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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