호의 길이와 곡률 연습문제 — CLP-4 · 1.2절 · 6번

CLP-4 · 1.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 정의하세요. $\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)$ 단, $0 \le t$ 입니다. $z=\arctan t$ 를 사용하여 이 함수를 다시 매개화하고, 그것이 나타내는 곡선을 설명하세요. 새로운 매개변수 $z$ 의 기하학적 의미는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Define $\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)$ for $0 \le t$ . Reparametrize the function using $z=\arctan t$ , and describe the curve it defines. What is the geometric interpretation of the new parameter $z$ ?

정답·풀이 보기

$\arctan t = z$ 이므로 $t=\tan z$ 이다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{$0 \le t $ 이고 $\arctan t < \pi/2$ 이므로 $0 \le z < \pi/2$ 이고, 따라서 $\cos z$ 와 $\sin z$ 는 모두 음이 아니다.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}$

정의역을 제한하지 않았다면 이 곡선은 위로 올라가는 나선이 된다. $z$ 는 나선의 높이이면서 동시에 라디안 값이다. 나선의 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 성분은 $-1$ 과 $1$ 사이에 머무르고, $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 성분은 증가한다. 따라서 이 나선은 "두께"는 그대로이면서 점점 더 "넓어진다".

정의역이 제한되어 있으므로 실제 곡선은 이 나선의 4분의 1 "바퀴"뿐이며, 위 그림에서 빨간색으로 표시되어 있다.

매개변수 $z$ 는 높이를 나타내는 값이며, 나선이 돌아가는 동안의 라디안 값이기도 하다.

원본 교재 풀이(영어)

Using $\arctan t = z$ , and so $t=\tan z$ :

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{Since $0 \le t $, and $\arctan t < \pi/2$ we have $0 \le z < \pi/2$, so $\cos z$ and $\sin z$ are both nonnegative.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}$

If we didn't have the restricted domain, this would make a spiral going up: $z$ is both the height of the spiral and a radian measure. The $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ -component of the spiral stays between $-1$ and $1$ , while the $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ -component increases. So, our spiral gets increasingly “wide," while staying the same “thickness."

Due to the restricted domain, our actual curve is only one-quarter of a “turn" of this spiral, indicated in red above.

The parameter $z$ is a measure of height, and it is also a radian measure as the spiral turns.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.2절 · 7번우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)$ 을 $t=-1$ 에서부터 잰 호의 길이에 대해 재매개화하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$ 로 놓는다.} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$s$ 에 대해 $t$ 를 풀면:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} & t>0 \text{ 일 때}\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$\sqrt{t^2}=|t|$ 임에 유의하면:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$ 일 때 $t=0$ 임에 유의하면, $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$ 의 재매개화는 다음과 같다.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s\le \frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때}\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s>\frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때} \end{cases} \end{aligned}$

참고: 이처럼 계산이 길고 자세한 경우에는 몇 개의 점을 확인하여 답이 타당한지 검증해 보는 것이 좋다. 예를 들어 $s=0$ 일 때 $t$ 는 $-1$ 이어야 하고, 그 역도 성립한다. 또한 $t=0$ 이 $s=\frac13(2\sqrt2-1)$ 에 대응함을 구하였다. 따라서 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right)$ 과 $\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0)$ 을 확인할 수 있어야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류