호의 길이와 곡률 연습문제 — CLP-4 · 1.2절 · 7번

CLP-4 · 1.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)$ 을 $t=-1$ 에서부터 잰 호의 길이에 대해 재매개화하세요.

영어 원문 보기

Reparametrize the function $\mathbf{r}(t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)$ in terms of arclength from $t=-1$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$ 로 놓는다.} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & t > 0 \text{ 일 때}\\ \end{cases} \\ \text{$s$ 에 대해 $t$ 를 풀면:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} & t>0 \text{ 일 때}\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 & t \le 0 \text{ 일 때}\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$\sqrt{t^2}=|t|$ 임에 유의하면:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} & t \le 0 \text{ 일 때}\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} & t>0 \text{ 일 때} \end{cases} \\ \text{$s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$ 일 때 $t=0$ 임에 유의하면, $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$ 의 재매개화는 다음과 같다.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s\le \frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때}\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)& s>\frac13(2\sqrt2-1) \text{ 일 때} \end{cases} \end{aligned}$

참고: 이처럼 계산이 길고 자세한 경우에는 몇 개의 점을 확인하여 답이 타당한지 검증해 보는 것이 좋다. 예를 들어 $s=0$ 일 때 $t$ 는 $-1$ 이어야 하고, 그 역도 성립한다. 또한 $t=0$ 이 $s=\frac13(2\sqrt2-1)$ 에 대응함을 구하였다. 따라서 $\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right)$ 과 $\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0)$ 을 확인할 수 있어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\\ \mathbf{r}'(t)&=(t,t^2)\\ |\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^2+t^4}=|t|\sqrt{1+t^2}\\ s(t)&=\int_{-1}^t|x|\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\begin{cases} \int_{-1}^t -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & \text{when } t \le 0\\ \int_{-1}^0 -x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x +\int_{0}^t x\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\ \text{Let $u=1+x^2$, $\frac12\mathrm{d}u=x\mathrm{d}x$} \\ &=\begin{cases} -\int_{2}^{1+t^2} \frac{1}{2}\sqrt{u}\mathrm{d}u & \text{when } t \le 0\\ -\int_{2}^1 \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u+ \int_{1}^{1+t^2} \frac12\sqrt{u}\mathrm{d}u & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1+t^2} & \text{when } t \le 0\\ -\frac{1}{3}u^{3/2}|_{2}^{1}+ \frac13u^{3/2}|_{1}^{1+t^2} & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac{2^{3/2}}{3}-\frac{1}{3}(1+t^2)^{3/2} & \text{when } t \le 0\\ -\frac23+\frac{2^{3/2}}{3}+\frac13(1+t^2)^{3/2} & \text{when } t > 0\\ \end{cases} \\ \text{Solving for $t$ in terms of $s$:} \\ 1+t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3} &\text{when } t \le 0\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3} &\text{when }t>0\end{cases}\\ t^2&=\begin{cases}(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1 &\text{when } t \le 0\\ (3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1 &\text{when }t>0 \end{cases} \\ \text{Remembering that $\sqrt{t^2}=|t|$:} \\ t&=\begin{cases}-\sqrt{(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1} &\text{when } t \le 0\\ \sqrt{(3s+2-2\sqrt{2})^{2/3}-1} &\text{when }t>0 \end{cases} \\ \text{Noting that $t=0$ when $s=\tfrac{1}{3}(2\sqrt2-1)$, we find our reparametrization of $(\tfrac12t^2,\tfrac13t^3)$.} \\ \mathbf{R}(s)&=\begin{cases} \Big(\frac12\left[ (2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right],-\frac13\left[(2\sqrt2-3s)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)&\text{ when }s\le \frac13(2\sqrt2-1)\\ \Big(\frac12\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1 \right],\frac13\left[(3s+2-2\sqrt2)^{2/3}-1\right]^{3/2}\Big)&\text{ when }s>\frac13(2\sqrt2-1) \end{cases} \end{aligned}$

Remark: after a computation with this much detail, it's nice to find a few points to check, to verify that our answer is reasonable. For instance, when $s=0$ , $t$ should be $-1$ , and vice-versa. Also, we found that $t=0$ corresponds to $s=\frac13(2\sqrt2-1)$ . So, we should be able to verify that $\mathbf{r}(0)=\mathbf{R}\left(\frac13(2\sqrt2-1)\right)$ and $\mathbf{r}(-1)=\mathbf{R}(0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.2절 · 2번우리말 번역

함수 $\mathbf{r}(s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}}$ 는 점 $P$ 에서 시작하여 호의 길이로 매개화되어 있다. $P$ 는 어디인지 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$P$ 에서 $P$ 까지의 호의 길이는 0이므로, $P$ 는 $s=0$ 인 점이다. 즉, $\mathbf{r}(0)$ , 곧 $\left( \sin(1/2),\cos(1/2),\sqrt{3}/2\right)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류