호의 길이와 곡률 연습문제 — CLP-4 · 1.3절 · 8번

CLP-4 · 1.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)$ 의 곡률 $\kappa (t)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa (t)$ of $\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)$ .

정답·풀이 보기

풀이 1: 모든 $t$ 에 대해 $(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2$ 임에 주목한다. 따라서 이 곡선의 점 $(x,y)$ 는 $x^2+y^2=2$ 위에 있으며, 이는 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원이다. 실제로

$\begin{aligned} x(t)&= \cos t+\sin t =\sqrt{2}\big[\cos t \cos\tfrac{\pi}{4} +\sin t \sin\tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\cos\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \\ y(t)&= \sin t-\cos t =\sqrt{2}\big[\sin t \cos\tfrac{\pi}{4}-\cos t\sin \tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\sin\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \end{aligned}$

따라서 $\mathbf{r}(t)$ 는 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원을 따라 돌므로, 곡률은 $\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이다.

풀이 2: 공식 $\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|}$ 을 사용한다. 이때 $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$ , $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)$ , $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right|$ 임을 기억한다.

$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t +\cos t, \cos t + \sin t)\\ \mathbf{a}(t)&=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t -\sin t, -\sin t + \cos t)\\ \mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)&=\big[(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t)^2\big]\hat{\mathbf{k}}=2\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}&=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \right|=\sqrt{(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t )^2}=\sqrt2\\ \kappa &=\left|\frac{\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3}\right|=\left|\frac{2\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}^3}\right|=\frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: Note that $(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2$ for all $t$ . So, the points $(x,y)$ of our curve lie on $x^2+y^2=2$ , which is a circle of radius $\sqrt{2}$ . Indeed

So, $\mathbf{r}(t)$ circumnavigates a circle of radius $\sqrt{2}$ and consequently has curvature $\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Solution 2: We use the formula $\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|}$ , remembering that $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$ , $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)$ , and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right|$ .

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 11.5절 · 6번우리말 번역

위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어질 때, $a_{\text{T}}$ 와 $a_{\text{N}}$ 은 곡률의 영향을 어떻게 받습니까?

다 풀었으면 정답 확인

$a_{\text{T}}$ 는 곡률의 영향을 받지 않으며, 곡률이 클수록 $a_{\text{N}}$ 은 커진다.

이 문제로 이어서 풀기

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