호의 길이와 곡률 연습문제 — CLP-4 · 1.3절 · 9번

CLP-4 · 1.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

타원 $x(t)= a \cos t$ , $y(t)=b\sin t$ 의 곡률의 최솟값과 최댓값을 구하세요. 여기서 $a>b>0$ 입니다.

영어 원문 보기

Find the minimum and maximum values for the curvature of the ellipse $x(t)= a \cos t$ , $y(t)=b\sin t$ . Here $a>b>0$ .

정답·풀이 보기

주어진 타원에 대해

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)&= -a\sin t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\cos t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ |\mathbf{v}(t)|& = \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}\\ \mathbf{a}(t)&= -a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} -b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin t & b\cos t & 0 \\ -a\cos t & -b\sin t & 0 \end{matrix}\right] = ab\,\hat{\mathbf{k}}\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{|\mathbf{v}(t)|^3} =\frac{ab}{{[a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t]}^{3/2}} \end{aligned}$

따라서 곡률의 최댓값(최솟값)은 분모가 최소(최대)일 때 얻어지며, 이는 $\sin t =0$ ( $\cos t=0$ )일 때이다. 그러므로 $\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2}$ 이고 $\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For the given ellipse

Hence the maximum (minimum) curvature is achieved when the denominator is a minimum (maximum) which is the case when $\sin t =0$ ( $\cos t=0$ ). So $\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2}$ and $\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.3절 · 8번우리말 번역

$\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)$ 의 곡률 $\kappa (t)$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 모든 $t$ 에 대해 $(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2$ 임에 주목한다. 따라서 이 곡선의 점 $(x,y)$ 는 $x^2+y^2=2$ 위에 있으며, 이는 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원이다. 실제로

$\begin{aligned} x(t)&= \cos t+\sin t =\sqrt{2}\big[\cos t \cos\tfrac{\pi}{4} +\sin t \sin\tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\cos\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \\ y(t)&= \sin t-\cos t =\sqrt{2}\big[\sin t \cos\tfrac{\pi}{4}-\cos t\sin \tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\sin\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \end{aligned}$

따라서 $\mathbf{r}(t)$ 는 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원을 따라 돌므로, 곡률은 $\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이다.

풀이 2: 공식 $\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|}$ 을 사용한다. 이때 $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$ , $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)$ , $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right|$ 임을 기억한다.

$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t +\cos t, \cos t + \sin t)\\ \mathbf{a}(t)&=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t -\sin t, -\sin t + \cos t)\\ \mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)&=\big[(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t)^2\big]\hat{\mathbf{k}}=2\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}&=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \right|=\sqrt{(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t )^2}=\sqrt2\\ \kappa &=\left|\frac{\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3}\right|=\left|\frac{2\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}^3}\right|=\frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 호의 길이와 곡률계산보통자동 분류