호의 길이와 곡률 연습문제 — CLP-4 · 1.3절 · 12번

CLP-4 · 1.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

곡선

$x(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt$

에 대해 곡률 $\kappa$ 를 호의 길이 $s$ ( $(0,0)$ 에서부터 잰 길이)의 함수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the curvature $\kappa$ as a function of arclength $s$ (measured from $(0,0)$ ) for the curve

$x(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi t^2\big)dt$

정답·풀이 보기

속도 벡터는

$\mathbf{v}(\theta)=x'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

이다. 따라서 속력은

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}(\theta)= |\mathbf{v}(\theta)|=1 \implies s(\theta)=\theta+s(0)$

이다. $\theta=0$ 일 때 $s(\theta)$ 가 0 이므로 $s(\theta)=\theta$ 이고, 따라서

$\hat{\mathbf{T}}(s)=\mathbf{v}(s) = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

이므로

$\kappa (s)=\left|\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}(s)\right| =\big|-\pi s\sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\pi s \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big| =\pi s$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity vector is

Consequently the speed

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}(\theta)= |\mathbf{v}(\theta)|=1 \implies s(\theta)=\theta+s(0)$

Since $s(\theta)$ is zero when $\theta=0$ , we have $s(\theta)=\theta$ and hence

$\hat{\mathbf{T}}(s)=\mathbf{v}(s) = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

so that

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 3.3절 · 38번우리말 번역

곡선 $y={e}^{x}$ 에서 $x\to \infty$ 일 때 곡률은 어떻게 되는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

곡률은 0에 가까워진다.

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# 호의 길이와 곡률계산도전자동 분류