빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

단위접선·법선벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 삼차원 곡선과 한 점에서의 접촉원(밀착원)을 그린 것이다. 이 그림에 T^\hat{\mathbf{T}} 와 N^\hat{\mathbf{N}} 을 표시하세요. B^\hat{\mathbf{B}} 는 종이 밖으로 독자 쪽을 향하나요, 아니면 종이 안으로 독자에게서 멀어지는 쪽을 향하나요?

그림

영어 원문 보기

In the sketch below of a three-dimensional curve and its osculating circle at a point, label T^\hat{\mathbf{T}} and N^\hat{\mathbf{N}}. Will B^\hat{\mathbf{B}} be pointing out of the paper towards the reader, or into the paper away from the reader?

figure

정답·풀이 보기

T^\hat{\mathbf{T}} 는 곡선에 접하고, N^\hat{\mathbf{N}} 은 곡선에 수직이다.

그림

오른손 법칙과 B^=T^×N^\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}} 을 이용하면 B^\hat{\mathbf{B}} 는 종이 밖(독자 쪽)을 향한다.

이를 확인하려면, 오른손의 네 손가락을 T^\hat{\mathbf{T}} 의 방향으로 향한 뒤 N^\hat{\mathbf{N}} 의 방향이 될 때까지 안쪽으로 감아 쥔다. 이렇게 하려면 엄지손가락이 자신에게서 멀어지는 쪽이 아니라 자신을 향해야 한다. 엄지손가락이 가리키는 방향이 T^×N^\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}} 의 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

T^\hat{\mathbf{T}} is tangent to the curve, while N^\hat{\mathbf{N}} is perpendicular to it.

figure

Using the right-hand rule and B^=T^×N^\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}, B^\hat{\mathbf{B}} points out of the page (towards the reader).

To see this, point the fingers of your right hand in the direction of T^\hat{\mathbf{T}}, and curl them inwards until they are in the direction of N^\hat{\mathbf{N}}. To do this, your thumb must be pointing towards you, not away from you. Your thumb shows the direction of T^×N^\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.4절 · 2번우리말 번역

공식 dsdt(t)=∣v(t)∣=∣r′(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)| 에서 ss 는 속력을 뜻하나요, 아니면 호의 길이를 뜻하나요?

다 풀었으면 정답 확인

이 식에서 ss 는 호의 길이를 뜻한다.

tt 에서 t+ht+h 까지의 아주 작은 구간을 잡으면, 곡선이 직선으로 근사되므로 호의 길이의 변화량 s(t+h)−s(t)s(t+h)-s(t) 는 근사적으로 ∣r(t+h)−r(t)∣|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)| 이다. 따라서 s(t+h)−s(t)h≈∣r(t+h)−r(t)∣h\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h} 이고, 이로부터 dsdt=∣drdt∣=∣v(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)| 를 얻는다.

속도의 크기는 속력이며, 이 교재에서는 보통 이것을 vv 로 나타낸다. 즉 v=∣v(t)∣v=|\mathbf{v}(t)| 이다. 이 때문에 ss 는 호의 길이를, vv 는 속력을 뜻한다는, 혼동하기 쉽지만 표준적인 관례가 생긴다.

이 문제로 이어서 풀기
# 단위접선·법선벡터그래프·표 해석기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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