단위접선·법선벡터

(a) 곡선 $x^2+y^2=1$ 은 반지름이 $1$ 인 원이다. 따라서 $x(\theta)=\cos\theta$, $y(\theta)=\sin\theta$, $0\le\theta<2\pi$ 로 매개변수화할 수 있다. 교선 위의 임의의 점의 $z$좌표는 $z=1-x-y$ 로 정해진다. 그러므로 다음을 쓸 수 있다.

$$\mathbf{r}(\theta) = \cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (1-\cos\theta-\sin\theta)\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le\theta<2\pi$$

(b) 다음과 같으므로

$$\begin{aligned} \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta)&=\big(-\sin\theta,\cos\theta,\sin\theta-\cos\theta\big) \\ \mathbf{a}(\theta)=\mathbf{v}'(\theta)&=\big(-\cos\theta,-\sin\theta,\cos\theta+\sin\theta\big) \end{aligned}$$

다음을 얻고

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &= |\mathbf{r}'(\theta)| =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta+(\sin\theta-\cos\theta)^2}\\ &=\sqrt{2-2\sin\theta\cos\theta} \\ &=\sqrt{2-\sin(2\theta)} \\ \mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)&=\big(1,1,1\big) \end{aligned}$$

곡률은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \kappa (\theta) &= \frac{|\mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\big)^3} =\frac{\sqrt{3}}{[2-\sin(2\theta)]^{3/2}} \end{aligned}$$

(c) 곡률은

• $2-\sin(2\theta)$ 가 최소(최대)일 때 최대(최소)이고,
• 이는 $\sin(2\theta)=1$ ($\sin(2\theta)=-1$)일 때이며,
• 이는 다시 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ($\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$)일 때이다.

따라서

$$\begin{aligned} \text{최대 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-1]^{3/2}}=\sqrt{3} && \text{에서 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1-\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\quad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ \text{최소 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-(-1)]^{3/2}}=\frac{1}{3} && \text{에서 }\qquad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$