단위접선·법선벡터 연습문제 — CLP-4 · 1.4절 · 16번

CLP-4 · 1.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

곡선 $C$ 가 원기둥 $x^2 +y^2 = 1$ 과 평면 $x+y+z = 1$ 의 교선이라고 하자.

(a) $C$ 의 매개변수 표현을 구하세요. (b) $C$ 의 곡률을 구하세요. (c) 곡률이 최대가 되는 점을 구하고, 이 점에서의 곡률의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the curve $C$ is the intersection of the cylinder $x^2 +y^2 = 1$ with the plane $x+y+z = 1$ .

(a) Find a parameterization of $C$ . (b) Determine the curvature of $C$ . (c) Find the points at which the curvature is maximum and determine the value of the curvature at these points.

정답·풀이 보기

(a) 곡선 $x^2+y^2=1$ 은 반지름이 $1$ 인 원이다. 따라서 $x(\theta)=\cos\theta$ , $y(\theta)=\sin\theta$ , $0\le\theta<2\pi$ 로 매개변수화할 수 있다. 교선 위의 임의의 점의 $z$ 좌표는 $z=1-x-y$ 로 정해진다. 그러므로 다음을 쓸 수 있다.

$\mathbf{r}(\theta) = \cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (1-\cos\theta-\sin\theta)\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le\theta<2\pi$

(b) 다음과 같으므로

$\begin{aligned} \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta)&=\big(-\sin\theta,\cos\theta,\sin\theta-\cos\theta\big) \\ \mathbf{a}(\theta)=\mathbf{v}'(\theta)&=\big(-\cos\theta,-\sin\theta,\cos\theta+\sin\theta\big) \end{aligned}$

다음을 얻고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &= |\mathbf{r}'(\theta)| =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta+(\sin\theta-\cos\theta)^2}\\ &=\sqrt{2-2\sin\theta\cos\theta} \\ &=\sqrt{2-\sin(2\theta)} \\ \mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)&=\big(1,1,1\big) \end{aligned}$

곡률은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \kappa (\theta) &= \frac{|\mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\big)^3} =\frac{\sqrt{3}}{[2-\sin(2\theta)]^{3/2}} \end{aligned}$

$2-\sin(2\theta)$ 가 최소(최대)일 때 최대(최소)이고,
이는 $\sin(2\theta)=1$ ( $\sin(2\theta)=-1$ )일 때이며,
이는 다시 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ( $\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$ )일 때이다.

따라서

$\begin{aligned} \text{최대 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-1]^{3/2}}=\sqrt{3} && \text{에서 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1-\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\quad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ \text{최소 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-(-1)]^{3/2}}=\frac{1}{3} && \text{에서 }\qquad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curve $x^2+y^2=1$ is a circle of radius $1$ . So we can parametrize it by $x(\theta)=\cos\theta$ , $y(\theta)=\sin\theta$ , $0\le\theta<2\pi$ . The $z$ -coordinate of any point on the intersection is determined by $z=1-x-y$ . So we can use

$\mathbf{r}(\theta) = \cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (1-\cos\theta-\sin\theta)\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le\theta<2\pi$

(b) As

we have

and the curvature

$\begin{aligned} \kappa (\theta) &= \frac{|\mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\big)^3} =\frac{\sqrt{3}}{[2-\sin(2\theta)]^{3/2}} \end{aligned}$

a maximum (minimum) when $2-\sin(2\theta)$ is a minimum (maximum),
which is the case when $\sin(2\theta)=1$ ( $\sin(2\theta)=-1$ ),
which in turn is the case when $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ( $\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$ ).

$\begin{aligned} \text{maximum curvature }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-1]^{3/2}}=\sqrt{3} && \text{at }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1-\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{and }\quad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ \text{minimum curvature }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-(-1)]^{3/2}}=\frac{1}{3} && \text{at }\qquad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{and }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.4절 · 1번우리말 번역

아래는 삼차원 곡선과 한 점에서의 접촉원(밀착원)을 그린 것이다. 이 그림에 $\hat{\mathbf{T}}$ 와 $\hat{\mathbf{N}}$ 을 표시하세요. $\hat{\mathbf{B}}$ 는 종이 밖으로 독자 쪽을 향하나요, 아니면 종이 안으로 독자에게서 멀어지는 쪽을 향하나요?

다 풀었으면 정답 확인

$\hat{\mathbf{T}}$ 는 곡선에 접하고, $\hat{\mathbf{N}}$ 은 곡선에 수직이다.

오른손 법칙과 $\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ 을 이용하면 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 종이 밖(독자 쪽)을 향한다.

이를 확인하려면, 오른손의 네 손가락을 $\hat{\mathbf{T}}$ 의 방향으로 향한 뒤 $\hat{\mathbf{N}}$ 의 방향이 될 때까지 안쪽으로 감아 쥔다. 이렇게 하려면 엄지손가락이 자신에게서 멀어지는 쪽이 아니라 자신을 향해야 한다. 엄지손가락이 가리키는 방향이 $\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ 의 방향이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 단위접선·법선벡터계산보통자동 분류