매개변수 곡면 연습문제 — CLP-4 · 3.1절 · 1번

CLP-4 · 3.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$z=e^{x+1}+xy$ 로 주어진 곡면을 $x$ 와 $y$ 로 매개화하세요.

영어 원문 보기

Parametrize the surface given by $z=e^{x+1}+xy$ in terms of $x$ and $y$ .

정답·풀이 보기

이 매개화는 거의 자명하다. 매개화는 $\mathbf{r}(x,y)= \psi_1(x,y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \psi_2(x,y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ \psi_3(x,y)\hat{\mathbf{k}}$ 꼴이 됨을 알 수 있다. 여기서 $\psi_1$ 은 $x$ 성분(즉 $x$ )을, $\psi_2$ 는 $y$ 성분(즉 $y$ )을, $\psi_3$ 는 $z$ 성분(즉 $e^{x+1}+xy$ )을 나타낸다. 따라서 $\mathbf{r}(x,y)= x\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ (e^{x+1}+xy)\hat{\mathbf{k}}$

원본 교재 풀이(영어)

This parametrization is almost trivial. We know it will have the form $\mathbf{r}(x,y)= \psi_1(x,y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \psi_2(x,y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ \psi_3(x,y)\hat{\mathbf{k}}$ where $\psi_1$ gives the $x$ -component (i.e. $x$ ), $\psi_2$ gives the $y$ -component (i.e. $y$ ), and $\psi_3$ gives the $z$ -component (i.e. $e^{x+1}+xy$ ). So, $\mathbf{r}(x,y)= x\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ (e^{x+1}+xy)\hat{\mathbf{k}}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.1절 · 7번우리말 번역

축에 평행하지 않은 직선을 회전축으로 하는 회전체를 매개변수로 나타내세요. 먼저 회전시키는 평면이 그 축에 수직임을 보이는 것이 좋을 수 있습니다.

(a) 평면 $x=y$ 위에 있고 중심이 $(2,2,4)$ 이며 반지름이 1인 원의 매개변수 방정식을 구하세요. (b) (a)의 원을 직선 $\mathbf{r}(t)=4\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}+t\hat{\mathbf{k}}$ 를 축으로 회전시켜 만들어지는 곡면의 매개변수 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 아래 그림에서 점 $(x,y,z)$ 는 중심 $(2,2,4)$ 에서 $\hat{\mathbf{k}}$ 방향으로 $\sin\theta$ 단위, $\sqrt \frac1{\sqrt 2}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})$ 방향으로 $\cos\theta$ 단위만큼 벗어나 있다. 따라서 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ 이다.

따라서 이 원을 $0 \le \theta \le 2\pi$ 에서 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ 로 매개변수화할 수 있다.

참고: 이 방정식이 우리가 원하는 두 가지 성질을 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같으므로 평면 $x=y$ 위에 있다. 중심이 $(2,2,4)$ 인 원임을 확인하기 위해, $(x,y,z)$ 에서 $(2,2,4)$ 까지의 거리를 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} d&=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-4)^2}=\sqrt{\left(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta\right)^2+\left(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta\right)^2+\left(\sin\theta\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac12\cos^2\theta+\frac12\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1 \end{aligned}$

따라서 모든 점이 같은 한 점으로부터 거리가 1이다. 즉, 이 점들은 반지름이 1인 원 위에 있다.

(b) 점 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ 를 직선 $x=y=4$ 를 축으로 $\phi$ 라디안만큼 회전시키는 경우를 생각한다.

회전한 점의 높이는 $z=4+\sin\theta$ 로 그대로이다. 직선 $x=y=4$ 까지의 거리도 변하지 않는다: $R=\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2+(z-z)^2}=\sqrt{(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta-2)^2+(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta-2)^2+0)}=\cos\theta-2\sqrt2$ .

원 위의 점 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt2}\cos\theta,2+\frac{1}{\sqrt 2} \cos \theta,4+\sin\theta)$ 가 그리는 원은 중심이 $(4,4,z)$ 이고 반지름이 $\sqrt2(4-x)$ 이므로, 그 방정식은 $x=4+\sqrt2(2-\sqrt2\cos\theta)\cos\phi$ , $y=4+\sqrt2(2-\sqrt2\cos\theta)\sin\phi$ , $z=4\sin\theta$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 매개변수 곡면계산기본자동 분류