매개변수 곡면 연습문제 — CLP-4 · 3.1절 · 7번

CLP-4 · 3.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

축에 평행하지 않은 직선을 회전축으로 하는 회전체를 매개변수로 나타내세요. 먼저 회전시키는 평면이 그 축에 수직임을 보이는 것이 좋을 수 있습니다.

(a) 평면 $x=y$ 위에 있고 중심이 $(2,2,4)$ 이며 반지름이 1인 원의 매개변수 방정식을 구하세요. (b) (a)의 원을 직선 $\mathbf{r}(t)=4\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}+t\hat{\mathbf{k}}$ 를 축으로 회전시켜 만들어지는 곡면의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Parametrize a solid of rotation about a line not parallel to an axis. Maybe first show that the plane you're rotating is normal to that axis.

(a) Give a parametric equation for the circle of radius 1, centred at $(2,2,4)$ , lying in the plane $x=y$ . (b) Give a parametrized equation for the surface formed by rotating the circle from part (a) about the line $\mathbf{r}(t)=4\hat{\boldsymbol{\imath}}+4\hat{\boldsymbol{\jmath}}+t\hat{\mathbf{k}}$ .

정답·풀이 보기

(a) 아래 그림에서 점 $(x,y,z)$ 는 중심 $(2,2,4)$ 에서 $\hat{\mathbf{k}}$ 방향으로 $\sin\theta$ 단위, $\sqrt \frac1{\sqrt 2}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})$ 방향으로 $\cos\theta$ 단위만큼 벗어나 있다. 따라서 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ 이다.

따라서 이 원을 $0 \le \theta \le 2\pi$ 에서 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ 로 매개변수화할 수 있다.

참고: 이 방정식이 우리가 원하는 두 가지 성질을 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같으므로 평면 $x=y$ 위에 있다. 중심이 $(2,2,4)$ 인 원임을 확인하기 위해, $(x,y,z)$ 에서 $(2,2,4)$ 까지의 거리를 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} d&=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2+(z-4)^2}=\sqrt{\left(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta\right)^2+\left(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta\right)^2+\left(\sin\theta\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac12\cos^2\theta+\frac12\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1 \end{aligned}$

따라서 모든 점이 같은 한 점으로부터 거리가 1이다. 즉, 이 점들은 반지름이 1인 원 위에 있다.

(b) 점 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ 를 직선 $x=y=4$ 를 축으로 $\phi$ 라디안만큼 회전시키는 경우를 생각한다.

회전한 점의 높이는 $z=4+\sin\theta$ 로 그대로이다. 직선 $x=y=4$ 까지의 거리도 변하지 않는다: $R=\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2+(z-z)^2}=\sqrt{(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta-2)^2+(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta-2)^2+0)}=\cos\theta-2\sqrt2$ .

원 위의 점 $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt2}\cos\theta,2+\frac{1}{\sqrt 2} \cos \theta,4+\sin\theta)$ 가 그리는 원은 중심이 $(4,4,z)$ 이고 반지름이 $\sqrt2(4-x)$ 이므로, 그 방정식은 $x=4+\sqrt2(2-\sqrt2\cos\theta)\cos\phi$ , $y=4+\sqrt2(2-\sqrt2\cos\theta)\sin\phi$ , $z=4\sin\theta$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In the sketch below, the point $(x,y,z)$ deviates from the centre $(2,2,4)$ by $\sin\theta$ units in the $\hat{\mathbf{k}}$ direction, and by $\cos\theta$ units in the $\sqrt \frac1{\sqrt 2}(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})$ direction. So, $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ .

So, we can parametrize the circle as $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ , with $0 \le \theta \le 2\pi$ .

Remark: it's easy to check that this equation satisfies the two properties we desire. Since the $x$ - and $y$ coordinates match, it's in the plane $x=y$ . To check that it's a circle centred at $(2,2,4)$ , we note the distance from $(x,y,z)$ to $(2,2,4)$ is:

So, our points all have distance one from the same point — that is, they lie on a circle of radius 1.

(b) Consider a point $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~2+\frac1{\sqrt 2}\cos\theta~,~4+\sin\theta)$ , rotating $\phi$ radians about the line $x=y=4$ .

The new position of the point has the same height, $z=4+\sin\theta$ . Its distance from the line $x=y=4$ is also preserved: $R=\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2+(z-z)^2}=\sqrt{(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta-2)^2+(\frac1{\sqrt 2}\cos\theta-2)^2+0)}=\cos\theta-2\sqrt2$ .

The circle traced out by a point $(x,y,z)=(2+\frac1{\sqrt2}\cos\theta,2+\frac{1}{\sqrt 2} \cos \theta,4+\sin\theta)$ on the circle is centred at $(4,4,z)$ with radius $\sqrt2(4-x)$ , so it has equation $x=4+\sqrt2(2-\sqrt2\cos\theta)\cos\phi$ , $y=4+\sqrt2(2-\sqrt2\cos\theta)\sin\phi$ , $z=4\sin\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.1절 · 6번우리말 번역

다음 곡면을 생각하세요.

$S_1$ 은 방정식 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (단, $z\ge 0$ )로 주어지는 반구이다.
$S_2$ 는 방정식 $x^2 + y^2 = 1$ 로 주어지는 원기둥이다.
$S_3$ 은 방정식 $z^2 = x^2 + y^2$ (단, $z\ge 0$ )로 주어지는 원뿔이다.

다음의 매개변수 표현을 생각하세요.

A. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/6$ B. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4$ C. $\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/3$ D. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le 2$ E. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{2}\le z\le 2$ F. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{3}\le z\le 2$ G. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le 1$ H. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{2}$ I. $\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{3}$ J. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 1$ K. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le \sqrt{2}$ L. $\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 2$

다음 각각에 대해, 위의 매개변수 표현 중에서 주어진 곡면의 올바른 매개변수 표현을 모두 고르세요. 각 곡면에 대해 올바른 매개변수 표현이 하나 이상 있을 수 있으며, 위의 매개변수 표현이 모두 사용되는 것은 아님에 유의하세요.

(a) $S_1$ 중에서 $S_2$ 의 안쪽에 있는 부분: (b) $S_1$ 중에서 $S_3$ 의 안쪽에 있는 부분: (c) $S_3$ 중에서 $S_2$ 의 안쪽에 있는 부분: (d) $S_3$ 중에서 $S_1$ 의 안쪽에 있는 부분:

다 풀었으면 정답 확인

먼저 다음에 유의한다.

A, B, C에서 $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(\theta, \phi)^2+ y(\theta, \phi)^2+z(\theta, \phi)^2 = 4$

를 만족하므로 $S_1$ 위에 있다.

D, E, F에서 $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=4-z(\theta, z)^2$

을 만족하므로 $S_1$ 위에 있다.

G, H, I에서 $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=z(\theta, z)^2$

을 만족하므로 $S_3$ 위에 있다.

J, K, L에서 $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ 는

$x(x, y)^2+ y(x, y)^2=z(x, y)^2$

을 만족하므로 $S_3$ 위에 있다.

(a) $S_1$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 A, B, C, D, E, F 중 하나를 써야 한다. A, B, C의 경우, $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_2$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,\phi)\ge 0$ 이므로 $0\le\phi\le{\pi}/{2}$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le 1 &\iff 4\sin^2\phi \le 1 \iff \sin\phi \le \frac{1}{2} \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{6} \end{aligned}$

이어야 한다.

D, E, F의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_2$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,z)\ge 0$ 이므로 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff 4-z^2 \le 1 \iff z \ge \sqrt{3} \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 A와 F가 알맞다.

(b) $S_1$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 A, B, C, D, E, F 중 하나를 써야 한다. A, B, C의 경우, $\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,\phi)\ge 0$ 이므로 $0\le\phi\le{\pi}/{2}$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le z(\theta,\phi)^2 &\iff 4\sin^2\phi \le 4\cos^2\phi \iff \tan\phi \le 1 \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{4} \end{aligned}$

이어야 한다.

D, E, F의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_1$ 의 모든 점에서 $z(\theta,z)\ge 0$ 이므로 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le z(\theta, z)^2 &\iff 4-z^2 \le z^2 \iff z \ge \sqrt{2} \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 B와 E가 알맞다.

(c) $S_3$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 G, H, I, J, K, L 중 하나를 써야 한다. G, H, I의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_2$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_3$ 의 모든 점에서 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff z^2 \le 1 \iff 0\le z\le 1 \end{aligned}$

이어야 한다.

J, K, L의 경우, $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면

$\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 \le 1 &\iff x^2+y^2 \le 1 \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 G와 J가 알맞다.

(d) $S_3$ 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 G, H, I, J, K, L 중 하나를 써야 한다. G, H, I의 경우, $\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_1$ 의 안쪽에 있으려면 ( $S_3$ 의 모든 점에서 $z\ge 0$ 임을 떠올리면)

$\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2+ z(\theta, z)^2 \le 4 &\iff 2z^2 \le 4 \iff 0\le z\le \sqrt{2} \end{aligned}$

이어야 한다.

J, K, L의 경우, $\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S_3$ 의 안쪽에 있으려면

$\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 + z(x, y)^2 \le 4 &\iff 2x^2+2y^2 \le 4 \end{aligned}$

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 H와 L이 알맞다.

이 문제로 이어서 풀기

# 매개변수 곡면증명·논술도전자동 분류