매개변수 곡면 연습문제 — CLP-4 · 3.1절 · 2번

CLP-4 · 3.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 다음과 같이 주어진 곡면이라 하자.

$\mathbf{r}(u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2$

이 곡면은 여러분이 잘 아는 곡면이다. 이 곡면은 무엇인가요? (다음 중 한 곡면의 일부분일 수도 있다.)

구 나선면 타원면 안장면 포물면 그릇 모양 곡면 원기둥 원뿔 평면

영어 원문 보기

Let $S$ be the surface given by

$\mathbf{r}(u, v) = \big( u + v\,,\, u^2 + v^2 \,,\, u - v\big),\qquad -2 \le u \le 2,\ -2 \le v \le 2$

This is a surface you are familiar with. What surface is it (it may be just a portion of one of the following)?

sphere helicoid ellipsoid saddle parabolic bowl cylinder cone plane

정답·풀이 보기

주어진 매개화는

$\begin{aligned} x(u,v) &= u+v \\ y(u,v) &= u^2+v^2 \\ z(u,v) &= u-v \end{aligned}$

이다.

$x(u,v)$ 와 $z(u,v)$ 를 더하면 $x(u,v)+z(u,v) = 2u$ 이다.
$x(u,v)$ 에서 $z(u,v)$ 를 빼면 $x(u,v)-z(u,v) = 2v$ 이다.

따라서 $u=\frac{1}{2}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)$ 이고 $v=\frac{1}{2}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)$ 이다. 그러므로 이 곡면 위에서

$\begin{aligned} y(u,v) &= u^2+v^2 = \frac{1}{4}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)^2 +\frac{1}{4}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)^2 \\ &= \frac{1}{2} x(u,v)^2 + \frac{1}{2} z(u,v)^2 \end{aligned}$

이다.

이 곡면의 모든 점은 $2y= x^2+z^2$ 위에 있다. 이것은 포물면 그릇 모양 곡면이다.

$y<0$ 인 점은 없고
$y=Y$ ( $Y> 0$ ) 인 단면은 원 $x^2+z^2=2Y$ , $y=Y$ 이다.
$x=0$ 인 단면은 포물선 $2y=z^2$ , $x=0$ 이다.
$z=0$ 인 단면은 포물선 $2y=x^2$ , $z=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Our parametrization is

$\begin{aligned} x(u,v) &= u+v \\ y(u,v) &= u^2+v^2 \\ z(u,v) &= u-v \end{aligned}$

Adding $x(u,v)$ and $z(u,v)$ gives $x(u,v)+z(u,v) = 2u$ .
Subtracting $z(u,v)$ from $x(u,v)$ gives $x(u,v)-z(u,v) = 2v$ .

So $u=\frac{1}{2}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)$ and $v=\frac{1}{2}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)$ . So on our surface

$\begin{aligned} y(u,v) &= u^2+v^2 = \frac{1}{4}\big(x(u,v)+z(u,v)\big)^2 +\frac{1}{4}\big(x(u,v)-z(u,v)\big)^2 \\ &= \frac{1}{2} x(u,v)^2 + \frac{1}{2} z(u,v)^2 \end{aligned}$

All points of our surface lie on $2y= x^2+z^2$ . This is a parabolic bowl:

no points have $y<0$ and
the $y=Y$ (with $Y> 0$ ) cross-section is the circle $x^2+z^2=2Y$ , $y=Y$
the $x=0$ cross-section is the parabola $2y=z^2$ , $x=0$
the $z=0$ cross-section is the parabola $2y=x^2$ , $z=0$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.1절 · 1번우리말 번역

$z=e^{x+1}+xy$ 로 주어진 곡면을 $x$ 와 $y$ 로 매개화하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 매개화는 거의 자명하다. 매개화는 $\mathbf{r}(x,y)= \psi_1(x,y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \psi_2(x,y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ \psi_3(x,y)\hat{\mathbf{k}}$ 꼴이 됨을 알 수 있다. 여기서 $\psi_1$ 은 $x$ 성분(즉 $x$ )을, $\psi_2$ 는 $y$ 성분(즉 $y$ )을, $\psi_3$ 는 $z$ 성분(즉 $e^{x+1}+xy$ )을 나타낸다. 따라서 $\mathbf{r}(x,y)= x\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ (e^{x+1}+xy)\hat{\mathbf{k}}$

이 문제로 이어서 풀기

# 매개변수 곡면계산기본자동 분류