매개변수 곡면 연습문제 — CLP-4 · 3.2절 · 16번

CLP-4 · 3.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

(a) 방정식이 $x^2+z^2=10$ 인 곡면에 점 $(1,1,3)$ 에서 수직인 벡터를 구하세요. (b) (a)의 곡면과 곡면 $y^2+z^2=10$ 이 만나서 생기는 곡선에 같은 점에서 접하는 벡터를 구하세요. (c) 그 점에서 그 곡선에 접하는 접선의 매개변수방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a vector perpendicular at the point $(1,1,3)$ to the surface with equation $x^2+z^2=10$ . (b) Find a vector tangent at the same point to the curve of intersection of the surface in part (a) with surface $y^2+z^2=10$ . (c) Find parametric equations for the line tangent to that curve at that point.

정답·풀이 보기

(a) 점 $(1,1,3)$ 에서 $x^2+z^2=10$ 에 수직인 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(x^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ 또는 } \frac{1}{2} ( 2,0,6)=( 1,0,3)$

(b) 점 $(1,1,3)$ 에서 $y^2+z^2=10$ 에 수직인 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(y^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ 또는 }\frac{1}{2} ( 0,2,6)=( 0,1,3)$

어떤 벡터가 주어진 점에서 주어진 곡선에 접할 필요충분조건은 그 벡터가 $(1,0,3)$ 과 $(0,1,3)$ 에 모두 수직인 것이다. 이러한 벡터 중 하나는

$( 0,1,3)\times(1,0,3) =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}\right] =( 3,3,-1)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) A vector perpendicular to $x^2+z^2=10$ at $(1,1,3)$ is

(b) A vector perpendicular to $y^2+z^2=10$ at $(1,1,3)$ is

A vector is tangent to the specified curve at the specified point if and only if it perpendicular to both $(1,0,3)$ and $(0,1,3)$ . One such vector is

$( 0,1,3)\times(1,0,3) =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}\right] =( 3,3,-1)$

(c) The specified tangent line passes through $(1,1,3)$ and has direction vector $( 1,1,3)$ and so has vector parametric equation $\mathbf{r}(t)=( 1,1,3)+t( 3,3,-1)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.2절 · 15번우리말 번역

쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 위의 점 중에서 접평면이 평면 $2x-y+z=0$ 과 평행인 점을 모두 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$(x_0,y_0,z_0)$ 을 쌍곡면 $z^2=4x^2+y^2-1$ 위의 점 중에서 접평면이 평면 $2x-y+z=0$ 과 평행인 점이라 하자. 평면 $2x-y+z=0$ 의 법선벡터는 $( 2,-1,1)$ 이다. 쌍곡면은 $G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1$ 이고 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = ( 8x,2y,-2z)$ 이므로, $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 쌍곡면의 법선벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=( 8x_0,2y_0,-2z_0)$ 이다. 따라서 $(x_0,y_0,z_0)$ 이 주어진 조건을 만족시키는 것은 다음을 만족시키는 0이 아닌 $t$ 가 존재하는 것과 같다.

$\begin{aligned} &( 8x_0,2y_0,-2z_0) =t( 2,-1,1) \text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ 그리고 } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 매개변수 곡면계산도전자동 분류