도함수의 뜻 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 도함수 $f'(x)$ 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−1.5, 20) and decreases to pass through (0, 10), where it appears to have a derivative of 0. Then it further decreases, passing through (1.7, 0) and achieving a minimum at (3, −17), at which point it increases rapidly through (3.8, 0) to (4, 20).

풀이 보기

$f$ 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기가 곧 $f'(x)$ 의 값이에요. 기울기를 읽어 점으로 찍으면 도함수 그래프가 돼요.

1
기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 $x=0$ 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, $x=3$ 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 $f'(0)=0$ , $f'(3)=0$ 이에요. 즉 $f'$ 의 그래프는 $x=0$ 과 $x=3$ 에서 $x$ 축과 만나요.
2
부호를 구간별로 살펴요. $x<3$ 에서는 (평평한 $x=0$ 을 제외하고) $f$ 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 $f'(x)<0$ 이에요. $x=0$ 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 $x$ 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. $x>3$ 에서는 $f$ 가 올라가므로 $f'(x)>0$ 이에요.
3
크기를 어림해요. 왼쪽 끝 $x=-1.5$ 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 $f'$ 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 $x=0$ 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 $x=2$ 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 $f'$ 는 여기서 가장 작은 값(약 $-16$ )을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 $x=3$ 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.
4
그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 $f'$ 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고, $x=2$ 근처에서 최저가 되었다가 $x=3$ 에서 $x$ 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

답

$f'$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고(접하고), $x=2$ 근처에서 최솟값 약 $-16$ , $x=3$ 에서 $x$ 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자주 하는 실수

$f$ 의 값이 큰 곳에서 $f'$ 도 크다고 생각하는 실수가 많아요. $f'$ 는 높이가 아니라 기울기예요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts in the third quadrant and increases to touch the origin, then decreases to a minimum at (2, −16), before increasing through the x axis at x = 3, after which it continues increasing.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 도함수의 정의를 이용하여 ${f}^{'}(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\frac{9}{x}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{-9}{{x}^{2}}$

이 문제로 이어서 풀기

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