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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.2절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 y=f(x)y=f(x) 의 x=ax=a 에서의 미분계수를 나타낸다. f(x)f(x) 와 aa 를 구하세요.

lim⁡h→0[3(2+h)2+2]−14h\lim_{h\to 0}\frac{[3{(2+h)}^{2}+2]-14}{h}

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function y=f(x)y=f(x) at x=a.x=a. Find f(x)f(x) and a.a.

lim⁡h→0[3(2+h)2+2]−14h\lim_{h\to 0}\frac{[3{(2+h)}^{2}+2]-14}{h}

정답·풀이 보기

f(x)=3x2+2,a=2f(x)=3{x}^{2}+2,a=2

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=3x2+2,a=2f(x)=3{x}^{2}+2,a=2

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 x=1x=1 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

f(x)={2x,x≤12x,x>1f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.

다 풀었으면 정답 확인

a.

함수는 제3사분면에서 직선으로 시작하여 기울기 2로 원점을 지나고, 이어서 (1, 2)에서부터는 2/x를 따라 아래로 볼록하게 감소한다.

b. lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0−2(1+h)−2h=lim⁡h→0−2hh=lim⁡h→0−2=2\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2 lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+21+h−21h=lim⁡h→0+2−2(1+h)1+hh=lim⁡h→0+−2hh(1+h)=lim⁡h→0+−21+h=−2\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array} lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h≠lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} 이므로 lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} 은 존재하지 않는다.

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