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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.2절 · 24번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 x=1x=1 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

f(x)={2x,x≤12x,x>1f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at x=1.x=1.

f(x)={2x,x≤12x,x>1f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x,x\le 1 \\ \frac{2}{x},x>1\end{array}\right.

정답·풀이 보기

a.

함수는 제3사분면에서 직선으로 시작하여 기울기 2로 원점을 지나고, 이어서 (1, 2)에서부터는 2/x를 따라 아래로 볼록하게 감소한다.

b. lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0−2(1+h)−2h=lim⁡h→0−2hh=lim⁡h→0−2=2\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2 lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+21+h−21h=lim⁡h→0+2−2(1+h)1+hh=lim⁡h→0+−2hh(1+h)=lim⁡h→0+−21+h=−2\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array} lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h≠lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} 이므로 lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} 은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The function starts in the third quadrant as a straight line and passes through the origin with slope 2; then at (1, 2) it decreases convexly as 2/x.

b. lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0−2(1+h)−2h=lim⁡h→0−2hh=lim⁡h→0−2=2\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2(1+h)-2}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}2=2 lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h=lim⁡h→0+21+h−21h=lim⁡h→0+2−2(1+h)1+hh=lim⁡h→0+−2hh(1+h)=lim⁡h→0+−21+h=−2\begin{array}{cc}\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2}{1+h}-\frac{2}{1}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{\frac{2-2(1+h)}{1+h}}{h} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2h}{h(1+h)} \\ & =\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{-2}{1+h} \\ & =-2\end{array} lim⁡h→0−f(1+h)−f(1)h≠lim⁡h→0+f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}, so lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 1번우리말 번역

함수 f(x)f(x)가 그림과 같이 주어져 있습니다. 아래 보기 중 도함수 dfdx\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}를 설명하는 것을 모두 고르세요.

(a) 상수 (b) 증가 (c) 감소

(d) 항상 양수 (e) 항상 음수

그림

다 풀었으면 정답 확인

주어진 함수는 직선이므로 기울기가 상수이다–(a). 함수가 항상 증가하므로 f′f'은 항상 양수이고, 따라서 (d)도 성립한다. 참고: 함수 자체가 때때로 음수인 것은 상관없다. 함수가 항상 증가하므로 기울기는 항상 양수이다. 또한 기울기가 상수이므로 f′f'은 증가하지도 감소하지도 않는다. 증가하는 것은 도함수가 아니라 함수이다.

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# 도함수의 뜻증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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