도함수의 뜻 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.2절 · 18번

OpenStax 1권 · 3.2절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 극한은 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수를 나타낸다. $f(x)$ 와 $a$ 를 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{{(2+h)}^{4}-16}{h}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function $y=f(x)$ at $x=a.$ Find $f(x)$ and $a.$

$\lim_{h\to 0}\frac{{(2+h)}^{4}-16}{h}$

정답·풀이 보기

$f(x)={x}^{4},a=2$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)={x}^{4},a=2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 10번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 $f(x)=\frac{1}{x}$ 의 도함수를 구하세요.

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도함수의 정의를 세운다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{x(x+h)}-\frac{x+h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x+h)}\\ &=\frac{-1}{x^2} \end{aligned}$

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