도함수의 뜻 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번

OpenStax 1권 · 3.2절 · 22번우리말 번역

다음 함수에 대하여,

a. 그래프를 그리고 b. 미분계수의 정의를 이용하여 함수가 $x=1$ 에서 미분가능하지 않음을 보이세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3,x<1 \\ 3x,x\ge 1\end{array}\right.$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. sketch the graph and b. use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at $x=1.$

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3,x<1 \\ 3x,x\ge 1\end{array}\right.$

정답·풀이 보기

함수는 점 (1, 3)에 이르기까지 y = 3인 직선이고, 그 점부터는 기울기가 3인 직선으로 증가한다.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{3-3}{h}=0$ $\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3(1+h)-3(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3h}{h}=3$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이므로 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is linear at y = 3 until it reaches (1, 3), at which point it increases as a line with slope 3.

b. $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{3-3}{h}=0$ $\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3(1+h)-3(1)}{h}=\lim_{h\to {0}^{+}}\frac{3h}{h}=3$ $\lim_{h\to {0}^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\ne \lim_{h\to {0}^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ , so $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 2번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 그림과 같이 주어져 있습니다. 아래 보기 중 도함수 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 를 설명하는 것을 모두 고르세요.

(a) 상수 (b) 증가 (c) 감소

(d) 항상 양수 (e) 항상 음수

다 풀었으면 정답 확인

함수가 항상 감소하므로 $f'$ 은 항상 음수이며, 이는 보기 (e)이다. 그러나 함수는 가파른 정도가 커졌다 작아졌다를 반복하므로 $f'$ 은 증가와 감소를 여러 번 번갈아 하며, 다른 보기는 성립하지 않는다.

참고: $f$ 는 항상 양수이지만 (d)는 성립하지 않는다!

이 문제로 이어서 풀기

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