도함수의 뜻

다음 극한이 $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}$$ 존재하면 이 함수는 $x=0$ 에서 미분가능하다 ($x=0$ 을 포함하는 첫 번째 식의 정의에 따라 $f(0)=0$ 임을 이용했다).

먼저 좌극한을 계산한다.

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-} \frac{x\cos x}{x} =\lim_{x\to 0^-} \cos x = 1. \end{aligned}$$

이제 우극한을 계산한다.

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} \\ &= \lim_{x\to 0^+} \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

좌극한과 우극한이 같지 않으므로 $x=0$ 에서의 미분계수는 존재하지 않는다.