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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 f(x)f(x) 의 그래프를 그리세요. 도함수 f′(x)f'(x) 를 구한 뒤 계산기로 f′(x)f'(x) 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] f(x)=x3+1f(x)=x^3+1

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph f(x).f(x). Determine the function f′(x),{f}^{'}(x), then use a calculator to graph f′(x).{f}^{'}(x).

[T] f(x)=x3+1f(x)={x}^{3}+1

풀이 보기

xnx^n 의 도함수는 nxn−1nx^{n-1} 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

  1. 1

    도함수를 구해요. x3x^3 은 3x23x^2 으로 미분되고, 상수 11 은 미분하면 00 이에요. 따라서 f′(x)=3x2+0=3x2f'(x)=3x^2+0=3x^2

  2. 2

    ff 의 그래프를 생각해요. y=x3+1y=x^3+1 은 y=x3y=x^3 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 f′f' 가 x3x^3 의 도함수와 같은 것과 맞아요.

  3. 3

    f′f' 의 그래프를 생각해요. y=3x2y=3x^2 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. y=x2y=x^2 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 f′(0)=0f'(0)=0 이어서 ff 는 x=0x=0 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), f′≥0f'\ge 0 이므로 ff 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 f′f' 이고 실선이 ff 예요.

답

f′(x)=3x2f'(x)=3x^2 (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 11 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=3x2{f}^{'}(x)=3{x}^{2}

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

다음 문제에서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 이용해 도함수 f′(x)f'(x) 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

다 풀었으면 정답 확인

f′f' 의 그래프는 x=0x=0 에서 xx 축에 닿고(접하고), x=2x=2 근처에서 최솟값 약 −16-16, x=3x=3 에서 xx 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본

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