음함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.8절 · 20번

OpenStax 1권 · 3.8절 · 20번우리말 번역

방정식 ${x}^{2}+xy+{y}^{2}=7$ 에 대하여 다음을 구하세요.

a. $x$ 절편을 구하세요. b. $x$ 절편에서의 접선의 기울기를 구하세요. c. b에서 구한 값은 접선에 대해 무엇을 나타내는지 설명하세요.

영어 원문 보기

For the equation ${x}^{2}+xy+{y}^{2}=7,$

a. Find the $x$ -intercept(s). b. Find the slope of the tangent line(s) at the x-intercept(s). c. What does the value(s) in b. indicate about the tangent line(s)?

정답·풀이 보기

a. $\left(\pm \sqrt{7},0\right)$ b. $-2$ c. 두 절편에서 기울기가 같으므로 두 접선은 평행하다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\left(\pm \sqrt{7},0\right)$ b. $-2$ c. They are parallel since the slope is the same at both intercepts.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.7절 · 14번우리말 번역

음함수 미분을 이용하면 $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ 이라고 가정할 때 공식 $\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$ 이 성립하는 이유를 다른 관점에서 볼 수 있습니다. 이 문제는 그 핵심 단계를 차례로 안내합니다.

(a) $y = a^x$ 라고 하세요. 이 등식을 자연로그 함수를 사용하여 $x$ 를 $y$ (와 상수 $a$ )로 나타내는 식으로 다시 쓰세요. (b) (a)에서 구한 등식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하세요. 이때 $y$ 는 음함수적으로 $x$ 의 함수임에 유의하세요. (c) (b)에서 구한 등식을 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 푼 다음, $y$ 의 정의를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 오직 $x$ 로만 나타내세요. 무엇을 알게 되었나요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 양변에 자연로그를 취하면 $\ln(y) = \ln(a^x) = x \ln(a)$ 이다. 따라서 $x = \frac{\ln(y)}{\ln(a)}\,.$ (b) $\ln(a)$ 는 $x$ 에 대해 상수이므로 $x = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(y)$ 로도 쓸 수 있다. $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 (그리고 $\ln(a)$ 가 상수임을 다시 한번 유의하여) 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 $1 = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\,.$ (c) $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 풀면 $\frac{dy}{dx} = y \ln(a)$ 이다. 그런데 처음에 $y = a^x$ 이었으므로 $\frac{dy}{dx} = a^x \ln(a)$ 이고, 이는 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)$ 임을 보여 준다.

이 문제로 이어서 풀기

# 음함수의 미분법계산자동 분류