지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.9절 · 27번

OpenStax 1권 · 3.9절 · 27번우리말 번역

$x>0$ 에서 정의된 함수 $y={x}^{1/x}$ 을 생각하세요.

a. 그래프에서 접선이 수평인 점을 구하세요. b. 그래프에서 ${y}^{'}>0$ 인 점과 ${y}^{'}<0$ 인 점을 각각 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $y={x}^{1/x}$ for $x>0.$

a. Determine the points on the graph where the tangent line is horizontal. b. Determine the points on the graph where ${y}^{'}>0$ and those where ${y}^{'}<0.$

정답·풀이 보기

a. $x=e\sim 2.718$ b. $y' > 0 \text{on} (0, e); y' < 0 \text{on} (e, \infty )$

원본 교재 풀이(영어)

a. $x=e\sim 2.718$ b. $y' > 0 \text{on} (0, e); y' < 0 \text{on} (e, \infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.10절 · 31번우리말 번역

$f(x)$ 를 치역이 양수만으로 이루어진 함수라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=\log(f(x))$ 가 같은 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가짐을 보이세요.

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$g(x):=\log(f(x))$ 라 하자. $g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ 임에 주목한다.

두 곡선이 같은 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가짐을 보이기 위해 두 가지를 보일 것이다. 첫째, $f(x)$ 가 어떤 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가지면 $g(x)$ 도 그 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가진다. 둘째, $g(x)$ 가 어떤 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가지면 $f(x)$ 도 그 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가진다.

어떤 점 $x_0$ 에 대해 $x=x_0$ 에서 $f(x)$ 가 수평인 접선을 가진다고 하자. 이는 $f'(x_0)=0$ 임을 뜻한다. 그러면 $g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}$ 이다. $f(x_0) \neq 0$ 이므로 $\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=\frac{0}{f(x_0)}=0$ 이고, 따라서 $x=x_0$ 에서 $g(x)$ 도 수평인 접선을 가진다. 이로써 $f$ 가 수평인 접선을 가질 때마다 $g$ 도 수평인 접선을 가짐을 보였다.

이제 어떤 점 $x_0$ 에 대해 $x=x_0$ 에서 $g(x)$ 가 수평인 접선을 가진다고 하자. 이는 $g'(x_0)=0$ 임을 뜻한다. 그러면 $g'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}=0$ 이므로 $f'(x_0)$ 이 존재하고 0 과 같다. 따라서 $x=x_0$ 에서 $f(x)$ 도 수평인 접선을 가진다. 이로써 $g$ 가 수평인 접선을 가질 때마다 $f$ 도 수평인 접선을 가짐을 보였다.

참고: $f(x)$ 가 양수만을 값으로 가진다는 조건이 주어지지 않았다면, $f(x)$ 와 $\log(f(x))$ 가 같은 $x$ 의 값에서 수평인 접선을 가진다는 것이 반드시 참인 것은 아니다. $f(x)$ 가 음수인 $x$ 의 값에서 $f(x)$ 가 수평인 접선을 가진다면, 그곳에서 $\log(f(x))$ 는 존재하지 않으므로 수평인 접선을 가질 수도 없다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분그래프·표 해석자동 분류