관련 변화율 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.1절 · 45번

OpenStax 1권 · 4.1절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 1루와 2루에서 주자들이 출발합니다. 야구공이 타격되면 1루 주자는 2루 쪽으로 18 ft/sec 의 속력으로 달리고 2루 주자는 3루 쪽으로 20 ft/sec 의 속력으로 달립니다. 공이 타격된 지 1초 후에 주자들 사이의 거리는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Runners start at first and second base. When the baseball is hit, the runner at first base runs at a speed of 18 ft/sec toward second base and the runner at second base runs at a speed of 20 ft/sec toward third base. How fast is the distance between runners changing 1 sec after the ball is hit?

정답·풀이 보기

거리는 $11.99$ ft/sec 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The distance is decreasing at a rate of $11.99$ ft/sec.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.2절 · 1번우리말 번역

두 양 $P$ 와 $Q$ 가 공식 $P=Q^3$ 으로 관계되어 있다고 합시다. $P$ 와 $Q$ 는 시간 $t$ 에 따라 변합니다. 이 정보가 주어졌을 때, 다음 중 풀 수 있는 문제를 모두 고르세요.

ⅰ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. (기억하세요: 기호 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 은 시각 $t=0$ 에서 $P$ 의 $t$ 에 대한 미분계수를 뜻합니다.) ⅱ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $Q$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅲ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅳ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $P$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$P$ 와 $Q$ 를 관계짓는 등식이 있다:

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{제3의 변수 $t$ 에 대해 음함수 미분한다:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

세 양 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다. 따라서 ⅱ는 풀 수 있는 문제이다. $P$ 를 알면 $Q$ 도 알 수 있으므로( $P$ 의 세제곱근이다), ⅳ도 풀 수 있다. 그러나 $P$ 와 $Q$ 를 둘 다 모르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없다. 따라서 ⅰ과 ⅲ은 풀 수 없다.

이 문제로 이어서 풀기

# 관련 변화율활용자동 분류