선형근사와 미분소 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.2절 · 18번

OpenStax 1권 · 4.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 $f(x)$ 와 $a$ 를 정하고, $L(x)=f(a)+{f}^{'}(a)(x-a)$ 의 값을 구하세요. 다음 선형 근사에서 수치 오차를 계산하세요.

[계산기 사용] $\cos (0.01)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the appropriate $f(x)$ and $a,$ and evaluate $L(x)=f(a)+{f}^{'}(a)(x-a).$ Calculate the numerical error in the linear approximations that follow.

[T] $\cos (0.01)$

정답·풀이 보기

$1$ ; 오차, $\sim 0.00005$

원본 교재 풀이(영어)

$1;$ error, $\sim 0.00005$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 9번우리말 번역

함수 $L(x)=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12}$ 은 $f(x)=\arctan x$ 의 어느 점 $x=a$ 에서의 선형 근사인지 구하세요.

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$x=a$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사 $L(x)$ 는 $L(a)=f(a)$ 이고 $L'(a)=f'(a)$ 가 되도록 정해진다. 따라서

$\begin{aligned} L'(a)&= f'(a)=\dfrac{1}{1+a^2}\\ \frac{1}{4}&=\frac{1}{1+a^2}\\ a&=\pm\sqrt{3} \\ \text{$a$ 는 $\sqrt{3}$ 또는 $-\sqrt{3}$ 으로 좁혀졌다. $x=a$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사는 $f(a)+f'(a)(x-a)$ 이므로, 그 상수항은 $f(a)-af'(a)=\arctan(a)-\dfrac{a}{1+a^2}$ 임을 떠올리자. 이를 $a=\sqrt{3}$ 과 $a=-\sqrt{3}$ 에 대해 계산한다.} \\ a=\sqrt{3}:~&~\arctan\left(a\right)-\frac{a}{1+a^2} =\arctan\left(\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{1+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12}\\ a=-\sqrt{3}:~&~\arctan\left(a\right)-\frac{a}{1+a^2} =\arctan\left(-\sqrt{3}\right)-\frac{-\sqrt{3}}{1+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=-\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{-4\pi+\sqrt{27}}{12} \\ \text{따라서 $a=\sqrt{3}$ 일 때,} \\ L(x)&=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12} \end{aligned}$

이고, 이는 $a=-\sqrt{3}$ 일 때는 성립하지 않는다. 따라서 $a=\sqrt{3}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소계산자동 분류