선형근사와 미분소

먼저 $x=5$ 에서 $f$ 의 1계 미분계수와 2계 미분계수를 구하자.

$$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x^2} & f'(5)&=\frac{1}{26}\\ f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} & f''(5)&=\frac{-10}{26^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \\ \text{$\Delta x = \dfrac{1}{10}$ 일 때 $\Delta y$ 의 선형 근사는} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x = \frac{1}{26}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{260} \approx 0.003846 \\ \text{$\Delta x = \dfrac{1}{10}$ 일 때 $\Delta y$ 의 이차 근사는} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x + \frac{1}{2}f''(5)\left(\Delta x\right)^2 = \frac{1}{26}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-10}{26^2}\cdot\frac{1}{10^2}=\frac{51}{13520}\approx 0.003772 \end{aligned}$$

참고: $\Delta y = \arctan(5.1)-\arctan(5)\approx 0.003774$ 이다.