선형근사와 미분소 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.2절 · 28번

OpenStax 1권 · 4.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 미분을 구하고, 주어진 $x$ 와 $dx$ 에 대해 값을 구하세요.

$y=\frac{1}{x+1},$ $x=1,$ $dx=0.25$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the differential and evaluate for the given $x$ and $dx.$

$y=\frac{1}{x+1},$ $x=1,$ $dx=0.25$

정답·풀이 보기

$dy=-\frac{1}{{(x+1)}^{2}}dx,$ $-\frac{1}{16}$

원본 교재 풀이(영어)

$dy=-\frac{1}{{(x+1)}^{2}}dx,$ $-\frac{1}{16}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에는 세 곡선이 있습니다. 검은 곡선은 $y=f(x)$ , 빨간 곡선은 $y=g(x)=1+2\sin(1+x)$ , 파란 곡선은 $y=h(x)=0.7$ 입니다. $f(0)$ 을 어림하려 할 때, 어떤 경우에 $g(0)$ 을 쓰게 될까요? 또 어떤 경우에 $h(0)$ 을 쓰게 될까요?

다 풀었으면 정답 확인

$f(0)$ 은 $h(0)$ 보다 $g(0)$ 에 더 가까우므로, $\sin(1)$ 의 값을 효율적으로 알아낼 수단이 있고 정확도가 중요하다면 $f(0) \approx g(0)=1+2\sin (1)$ 로 어림하는 것이 좋을 것이다. 계산기가 있다면 이 어림을 쓸 수 있다. 또한 이 단원의 뒷부분에서 계산기 없이 $\sin (1)$ 을 근사하는 방법을 배우지만, 그 방법에는 시간이 필요하다.

계산기가 없거나 시간이 많지 않다면 $f(0)\approx h(0)=0.7$ 을 쓰는 것이 가장 적절할 것이다. 이는 $f(0) \approx g(0)$ 만큼 정확하지는 않지만, $\sin(1)$ 의 값을 알아내려고 고민하지 않고도 매우 빠르게 어림값을 얻을 수 있다.

참고: 실생활에서 어떤 값을 어림할 때는 분명한 '정답' 방법이 없는 경우가 많다. 보통 정확도와 편리함 사이에서 균형을 잡아야 한다.

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# 선형근사와 미분소계산자동 분류