극대와 극소 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번

OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번우리말 번역

구간 $[a,b]$ 에서 최솟값을 구할 때, 왜 끝점을 확인해야 하나요? 이 가설을 뒷받침하는 그래프를 그리세요.

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If you are finding an absolute minimum over an interval $[a,b],$ why do you need to check the endpoints? Draw a graph that supports your hypothesis.

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답은 다양할 수 있다.

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한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.3절 · 10번우리말 번역

$g$ 가 미분가능한 함수이고 $g'(2) = 0$ 이라 하자. 또한 $1 < x< 2$ 와 $2 < x < 3$ 에서 $g'(x)$ 가 양수임이 알려져 있다고 하자.

(a) $x = 2$ 에서 $g$ 는 극댓값, 극솟값을 갖는지, 아니면 둘 다 갖지 않는지 답하세요. 그 이유는 무엇인가요? (b) $1 < x < 3$ 인 모든 $x$ 에 대해 $g''(x)$ 가 존재한다고 하자. 그래프를 이용하여 추론하여, $2$ 에 가까운 $x$ 의 값에서 $g''(x)$ 의 변화 양상을 설명하세요. (c) $x = 2$ 가 $g$ 의 임계수라는 점 외에, $g$ 의 그래프의 모양 측면에서 $x = 2$ 라는 값이 갖는 특별한 점은 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $f'$ 가 $x = 2$ 에서 부호가 바뀌지 않으므로 $g$ 는 $x = 2$ 에서 극댓값도 극솟값도 갖지 않는다. (b) $g'(2) = 0$ 이고 $1 < x < 2$ 와 $2 < x < 3$ 에서 $g'$ 가 양수이므로, $1 < x < 2$ 에서 $g'$ 는 감소하고 $2 < x < 3$ 에서 $g'$ 는 증가해야 한다. $g'$ 가 $x = 2$ 에서 감소에서 증가로 바뀌므로 $g'$ 는 $x = 2$ 에서 극솟값을 갖고, 따라서 $g''(2) = 0$ 이다. 또한 $g''(x)$ 는 $x = 2$ 에서 음수에서 양수로 부호가 바뀌어야 한다. 즉, $1 < x < 2$ 에서 $g''$ 는 음수이고 $2 < x < 3$ 에서 $g''$ 는 양수이다. (c) $g$ 는 $x = 2$ 에서 수평인 접선을 갖고, $x = 2$ 이전에는 증가하며 $x = 2$ 이후에는 감소하고, $x = 2$ 이전에는 위로 볼록이며 $x = 2$ 이후에는 아래로 볼록이므로, $g$ 는 $x = 2$ 에서 변곡점을 갖는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 극대와 극소그래프·표 해석자동 분류