최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번

OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 $(0,1)$ 에서 $y=\dfrac{1}{x-x^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

$y=\frac{1}{(x-{x}^{2})}$ over $(0,1)$

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 $x-x^2$ 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

1
분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.
2
함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)
3
최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

$x=\dfrac12$ 에서 절대(최)솟값 $y=4$ , 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$x=0$