최댓값·최솟값과 최적화

원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$이에요.

먼저 넓이의 합을 $x$로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$이므로 원의 둘레는 $L-4x$이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$예요. 그래서 $$A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$$

최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.

아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.

$x=0$이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$이고, $x=\frac{L}{4}$이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$이므로 $A(0)$이 더 커요. 따라서 $x=0$일 때 넓이의 합이 최대예요.