롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y=3x^3+2x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y=3{x}^{3}+2x+1$ over $[-1,1]$

답 쓰고 채점

점

풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 $c$ 가 있다는 정리예요. 방정식 $f'(c)=\text{평균변화율}$ 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=3+2+1=6$ , $f(-1)=-3-2+1=-4$ 이므로 $\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5$ 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 $5$ 예요.
2
도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. $f'(x)=9x^2+2$ 이므로 $f'(c)=5$ 를 풀면 $9c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577$
3
구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 $-1<c<1$ 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 $c$ 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

$2$ 개 ( $c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ )

자주 하는 실수

평균값 정리의 $c$ 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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