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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 f(1)−f(−1)=f′(c)(2)f(1)-f(-1)=f'(c)(2) 를 만족하는 cc 가 없음을 보이세요. 구간 [−1,1][-1,1] 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

f(x)=∣x−12∣f(x)=\left|x-\dfrac12\right|

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no cc such that f(1)−f(−1)=f′(c)(2).f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2). Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval [−1,1].[-1,1].

f(x)=∣x−12∣f(x)=|x-\frac{1}{2}|

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

  1. 1

    평균변화율을 구해요. f(1)=12f(1)=\tfrac12, f(−1)=32f(-1)=\tfrac32 이므로 f(1)−f(−1)=−1 ⇒ f′(c)⋅2=−1 ⇒ f′(c)=−12f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12 이 되는 cc 가 있는지 보면 돼요.

  2. 2

    도함수의 값을 살펴요. x>12x>\tfrac12 에서는 f(x)=x−12f(x)=x-\tfrac12 이므로 f′(x)=1f'(x)=1, x<12x<\tfrac12 에서는 f(x)=−x+12f(x)=-x+\tfrac12 이므로 f′(x)=−1f'(x)=-1 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 11 과 −1-1 뿐이라서 −12-\tfrac12 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 cc 가 없어요.

  3. 3

    왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. x=12x=\tfrac12 은 구간 (−1,1)(-1,1) 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 −1-1, 우미분계수는 11 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

ff 는 x=12x=\tfrac12 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 cc 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 [a,b][a,b] 에서 함수의 그래프를 그리고 aa 에서 bb 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 cc 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 cc 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 [−14,14]\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right] 에서 y=tan⁡(πx)y=\tan (\pi x)

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c=±1πcos⁡−1(π2),c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right), c=±0.1533c=\pm 0.1533

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# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

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