롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.4절 · 18번

OpenStax 1권 · 4.4절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 $f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0)$ 을 만족하는, 평균값 정리가 보장하는 모든 점 $0<c<2$ 를 구하세요.

$f(x)={(x-1)}^{10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find all points $0<c<2$ predicted by the Mean Value Theorem satisfying $f(2)-f(0)={f}^{'}(c)(2-0).$

$f(x)={(x-1)}^{10}$

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정답·풀이 보기

$c=1$

원본 교재 풀이(영어)

$c=1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번우리말 번역

$y={\csc }^{2}x$ 와 $y={\cot }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

시각 $t$ 에서 자동차 1이 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{1}(t)$ 라 하자. 시각 $t$ 에서 자동차 2가 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{2}(t)$ 라 하자. 그러면 ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ 이다. 두 자동차가 신호등 2에 도착하는 시각을 $t=m$ 이라 하자. 그러면 ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ 이다. 여기서 $d$ 는 두 신호등 사이의 거리이다.

새로운 함수를 $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ 로 정의하자. 그러면 $f(0)=0=f(m)$ 이다. 평균값 정리에 의해 $0<c<m$ 인 시각 $c$ 가 존재하여

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

시각 c에서

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

따라서 시각 c에서 자동차 1과 자동차 2는 같은 속력으로 달리고 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류