롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번

OpenStax 1권 · 4.4절 · 46번우리말 번역

$y={\csc }^{2}x$ 와 $y={\cot }^{2}x$ 의 도함수가 서로 같음을 보이세요. $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$ 에 대해 어떤 사실을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Show that $y={\csc }^{2}x$ and $y={\cot }^{2}x$ have the same derivative. What can you say about $y={\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x?$

정답·풀이 보기

시각 $t$ 에서 자동차 1이 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{1}(t)$ 라 하자. 시각 $t$ 에서 자동차 2가 신호등 1로부터 떨어진 거리를 ${s}_{2}(t)$ 라 하자. 그러면 ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ 이다. 두 자동차가 신호등 2에 도착하는 시각을 $t=m$ 이라 하자. 그러면 ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ 이다. 여기서 $d$ 는 두 신호등 사이의 거리이다.

새로운 함수를 $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ 로 정의하자. 그러면 $f(0)=0=f(m)$ 이다. 평균값 정리에 의해 $0<c<m$ 인 시각 $c$ 가 존재하여

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

시각 c에서

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

따라서 시각 c에서 자동차 1과 자동차 2는 같은 속력으로 달리고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let ${s}_{1}(t)$ represent the distance of Car 1 from Stoplight 1 at time $t$ . Let ${s}_{2}(t)$ represent the distance of Car 2 from Stoplight 1 at time $t$ . Then ${s}_{1}(0)=0={s}_{2}(0)$ . Let $t=m$ represent the time that the cars arrive at Stoplight 2. Then ${s}_{1}(m)=d={s}_{2}(m)$ where $d$ is the distance between the stoplights.

Define a new function $f(t)={s}_{1}(t)-{s}_{2}(t)$ . Then $f(0)=0=f(m)$ . By the Mean Value Theorem, there is a time $0<c<m$ such that

${f}^{'}(c)=\frac{f(m)-f(0)}{m-0}=\frac{0}{m}=0.$

At time c,

${f}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)-{s}_{2}^{'}(c)=0$

${s}_{1}^{'}(c)={s}_{2}^{'}(c)$

So, at time c, Car 1 and Car 2 are traveling at the same speed.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 44번우리말 번역

두 자동차가 한 신호등에서 다음 신호등까지 같은 시각에 출발하여 같은 시각에 도착한다. 두 자동차가 같은 속력으로 달리는 순간이 있는가? 증명하거나 반증하세요.

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