롤의 정리와 평균값 정리

• 살펴보면 $f(0)=0$ 임을 알 수 있으므로 근이 적어도 하나는 있다. 다른 근이 있는지, 있다면 몇 개인지 판단해야 한다.
• 함수 $f(x)$ 는 두 항 $x^3$ 과 $\sin(x^5)$ 의 합이다. 어떤 수 $x$ 가 $f(x)$ 의 근이 되는 것은 그 $x$ 의 값에서 두 항이 서로 정확히 상쇄될 때, 그리고 그때에 한한다. 즉, $x$ 가 $f$ 의 근일 필요충분조건은 $x^3=-\sin(x^5)$ 이다. 다른 근을 찾기 위한 감을 얻도록, 같은 그림에 $y=x^3$ 과 $y=-\sin(x^5)$ 의 그래프를 그린다. 그러면 $f(x)$ 의 근은 정확히 두 곡선 $y=x^3$ 과 $y= -\sin(x^5)$ 가 만나는 점의 $x$ 값이다.

• 그래프를 보면 두 곡선은 $|x|>1$ 인 점에서는 결코 만날 수 없다. $|x|>1$ 이면 $|x^3|>1$ 이지만 $|-\sin (x^5)|\le 1$ 이므로 $x^3=-\sin(x^5)$ 일 수 없기 때문이다. 즉, $f(x)$ 의 모든 근은 구간 $[-1,1]$ 에 있다.
• 그래프로 보아 $y=x^3$ 과 $y=-\sin(x^5)$ 는 $x=0$ 에서만 만난다고 짐작할 수 있다. 롤의 정리를 이용하여 실제로 그러함을 확인할 수 있다.
• $a \neq 0$ 인 근이 있다고 하면, 롤의 정리에 의해 ($f(x)$ 는 모든 실수 $x$ 에 대해 연속이고 미분가능하므로) $0$ 과 $a$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다. 특히, 근 $a$ 가 있다면 $-1$ 과 $1$ 사이에 있음을 이미 알고 있으므로, $f(x)$ 가 근을 두 개 가지면 어떤 $c \in (-1,0) \cup (0,1)$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다.
• $f$ 의 도함수는

$$f'(x)=3x^2+5x^4\cos\big(x^5\big)=x^2\left(3+5x^2\cos\big(x^5\big)\right)$$

이다. 따라서 $f'(x)=0$ 이면 $x=0$ 또는 $\left(3+5x^2\cos\left(x^5\right)\right)=0$ 이다. $x \in (-1,0) \cup (0,1)$ 이면

$$\begin{aligned} |x|<1 &\implies |x^5|<1<\tfrac{\pi}{2} \implies \cos\big(x^5\big)>0 \\ &\implies 3+5x^2\cos\big(x^5\big) > 3 \\ &\implies f'(x) \neq 0 \end{aligned}$$

이다. 즉, $f'(c)=0$ 인 $c \in (-1,0) \cup (0,1)$ 은 없다. 그러므로 바로 앞의 항목에 따라 $f(x)$ 의 근은 하나뿐이다.

여기서 $f'(x)$ 는 영점이 많음에 주목하자. 사실은 무수히 많다. 그러나 구간 $(-1,1)$ 에서 $f'(x)$ 의 근은 $x=0$ 뿐이다.