롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번

OpenStax 1권 · 4.4절 · 28번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

구간 $[0,3]$ 에서 $y=\frac{1}{|x+1|}$

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For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{1}{|x+1|}$ over $[0,3]$

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 11번우리말 번역

함수 $f(x)=3x-\sin x$ 의 근은 몇 개인가요?

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간단히 살펴보면 $x=0$ 은 $f(x)$ 의 근이다. 이제 다른 근이 있을 수 있는지가 문제이다. $f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로, 또 다른 근 $a$ 가 있다면 롤의 정리에 의해 $0$ 과 $a$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다. 그런데 $f'(x)=3-\cos x$ 는 결코 $0$ 이 되지 않는다. 따라서 두 번째 근은 없으며, $f(x)$ 의 근은 정확히 하나이다.

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