롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.4절 · 34번

OpenStax 1권 · 4.4절 · 34번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=5+|x|$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=5+|x|$ over $[-1,1]$

정답·풀이 보기

평균값 정리를 적용할 수 없다. $x=0$ 에서 미분가능하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; not differentiable at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 16번우리말 번역

구간 $[0, T]$ 에서 함수 $e^x$ 에 대해 평균값 정리가 보장하는 점을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=e^x$ 라 하자. $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해 $0$ 과 $T$ 사이에

$\begin{aligned} f'(c)&=\frac{f(T)-f(0)}{T-0} \\ \text{문제는 이 $c$ 의 값을 구하는 것이다. 풀면:} \\ e^c&=\frac{e^T-e^0}{T}\\ e^c&=\frac{e^T-1}{T}\\ c&=\log\left(\frac{e^T-1}{T}\right) \end{aligned}$

를 만족하는 $c$ 가 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류