빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

최댓값·최솟값과 최적화

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 y=5−2xy=5-2x 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line y=5−2xy=5-2x closest to the origin?

답 쓰고 채점
풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 (x, 5−2x)(x,\,5-2x) 로 쓸 수 있어서 변수가 xx 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.

  2. 2

    거리의 제곱을 식으로 써요. D(x)=x2+(5−2x)2=5x2−20x+25D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25

  3. 3

    미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. D′(x)=10x−20=0  ⟹  x=2D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2

  4. 4

    최솟값인지 확인해요. D′′(x)=10>0D''(x)=10>0 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 x=2x=2 에서 최소예요.

  5. 5

    점의 좌표를 구해요. y=5−2⋅2=1y=5-2\cdot2=1 이므로 가장 가까운 점은 (2,1)(2,1) 이에요.

답

(2,1)(2,1)

자주 하는 실수

거리 x2+y2\sqrt{x^2+y^2} 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, xx 만 구하고 yy 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

(2,1)(2,1)

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 4.3절 · 9번우리말 번역

일반적인 음료수 캔은 대략 원기둥 모양이고 액체 355cm3^3 가 들어간다. 캔을 만드는 데 필요한 재료를 최소로 하려면 원기둥의 치수를 어떻게 해야 하는지 구하세요. 구한 치수를 바탕으로, 일반적인 캔이 재료비를 최소로 하도록 만들어졌는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

반지름은 약 3.843.84cm이고 높이는 2r=7.672r=7.67cm이어야 한다. 아니다. 이것은 일반적인 캔의 크기가 아니다.

이 문제로 이어서 풀기
# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

「최댓값·최솟값과 최적화」 문제 목록으로