최댓값·최솟값과 최적화

농부는 길이 $x$ 와 너비 $y$ 를 아직 모르는 직사각형 영역에 울타리를 칠 것이다. 직사각형 영역 전체의 넓이는 넓이가 같은 직사각형 4개로 이루어진다. 아래 그림과 같이 이렇게 나누는 방법은 두 가지이다(다만 문제의 설정을 명시적으로 따르는 것은 왼쪽 그림뿐이다).

우리는 작은 직사각형 영역 각각의 넓이를 최대로 하려고 한다. 이는 전체 직사각형 영역의 넓이 $A = xy$ 를 최대로 하는 것과 같다. $A$ 에는 변수가 두 개 있으므로 아직 미적분 기법을 바로 적용할 수 없다. 울타리의 양에 관한 정보를 이용하여 $x$ 와 $y$ 의 관계를 세우고, $A$ 를 변수 하나만으로 나타낸다.

그림의 왼쪽 울타리 방식의 경우, 네 개의 방목지를 둘러싸는 데 필요한 울타리의 총량은 $2x+5y$ 이다. 울타리 $7500$ 피트를 모두 사용한다고 가정하므로 $2x+5y=7500$ 이다. $x$ 에 대해 풀면 $x = 3750 - 2.5y$ 이다. 이 식을 넓이 공식의 $x$ 에 대입하면 $A$ 를 $y$ 만으로 나타낼 수 있다.

$$A(y) = (3750-2.5y)y = 3750y - 2.5y^2\,.$$ 어떤 영역을 둘러싸려면 당연히 $y > 0$ 이고 $x > 0$ 이어야 하며, $x = 3750 - 2.5y$ 이므로 $2.5y < 3750$ 이어야 하고 따라서 $y < 1500$ 이다. 이 정의역에서 $A$ 의 최댓값을 구하기 위해 $A$ 의 임계점을 구한다. $A'(y) = 3750 - 5y$ 이므로 $A'(y) = 0$ 인 것은 $y = 750$ 일 때, 그리고 그때뿐이다. $0 < y < 750$ 에서는 $A'(y) > 0$ 이고 $750 < y < 1500$ 에서는 $A'(y) < 0$ 이다. 따라서 $A(750) = 1406250$ 제곱피트가 $A$ 의 최댓값이다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 전체의 4분의 1, 즉 $351562.5$ 제곱피트이다.

그림의 오른쪽 울타리 방식의 경우, 네 개의 방목지를 둘러싸는 데 필요한 울타리의 총량은 $3x+3y$ 이다. 울타리 $7500$ 피트를 모두 사용한다고 가정하므로 $3x + 3y = 7500$ 이다. $x$ 에 대해 풀어 $A$ 에 대입하면 $x = 2500 - y$ 이고

$$A(y) = (2500-y)y = 2500y - y^2\,.$$ 어떤 영역을 둘러싸려면 당연히 $y > 0$ 이고 $x > 0$ 이어야 하며, $x = 2500 - y$ 이므로 $y < 2500$ 이어야 한다. 이 정의역에서 $A$ 의 최댓값을 구하기 위해 $A$ 의 임계점을 구한다. $A'(y) = 2500 - 2y$ 이므로 $A'(y) = 0$ 인 것은 $y = 1250$ 일 때, 그리고 그때뿐이다. $0 < y < 1250$ 에서는 $A'(y) > 0$ 이고 $1250 < y < 2500$ 에서는 $A'(y) < 0$ 이다. 따라서 $A(1250) = 1406250$ 제곱피트가 $A$ 의 최댓값이다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 전체의 4분의 1, 즉 $390625$ 제곱피트이다.

따라서 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 390625 제곱피트이며, 오른쪽 방식이 왼쪽 방식보다 더 최적임을 알 수 있다.