최댓값·최솟값과 최적화

탱크의 원기둥 부분의 길이를 $h$, 원기둥의 반지름을 $r$ 라 하자. 그러면 탱크 양 끝의 반구의 반지름도 $r$ 이다. 먼저 원기둥 부분과 반구 부분을 살펴 탱크의 부피와 겉넓이에 대한 식을 구한다.

탱크의 원기둥 부분의 부피는 $V_c = \pi r^2 h$ 이고, 옆면의 넓이는 $A_c = 2\pi r h$ 이다(이는 원기둥 밑면의 둘레에 원기둥의 높이를 곱한 값이다 -- 원기둥을 펼치면 직사각형이 되는 것을 생각해 보자). 두 반구 모양의 끝 부분을 합치면 완전한 구가 되며, 구의 부피는 $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ 이고 구의 겉넓이는 $A_s = 4 \pi r^2$ 이다.

따라서 탱크 전체의 부피는

$$V = V_c + V_s = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3\,,$$ 이고, 전체 겉넓이는

$$A = A_c + A_s = 2\pi r h + 4 \pi r^2\,.$$ 또한 원기둥 옆면과 반구 모양의 끝 부분의 재료 비용이 서로 다른 것을 고려하면, 탱크의 총비용은

$$C = 2(2\pi r h) + 5(4 \pi r^2) = 4 \pi r h + 20 \pi r^2\,.$$

우리의 목표는 탱크의 부피가 1000세제곱미터가 되도록 하는 조건에서 탱크의 총비용을 최소로 하는 것이다. 이 조건에서 방정식 $1000 = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$ 을 얻고, 이를 $h$ 에 대해 풀면 $\pi r^2 h = 1000 - \frac{4}{3} \pi r^3$ 이므로

$$h = \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}\,.$$ 이제 $h$ 에 대한 이 식을 앞에서 구한 비용의 식에 대입하면 비용을 하나의 변수 $r$ 의 함수로 나타낼 수 있다. 즉,

$$C(r) = 4 \pi r \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2} + 20 \pi r^2 = 4 \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{r} + 20\pi r^2$$

더 간단히 하면

$$C(r) = \frac{4000}{r} - \frac{16}{3}\pi r^2 + 20 \pi r^2 = \frac{4000}{r} + \frac{44 \pi}{3}r^2\,.$$ 문제의 물리적 조건에 따라 $r > 0$ 이고 $h > 0$ 인 값만 생각한다. $h = \frac{1000 - \frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}$ 이므로

$$\frac{4}{3} \pi r^3 < 1000$$

이어야 하고, 따라서 $r^3 < \frac{3}{4 \pi} \cdot 1000 = 750$ 이며, 그러므로 $r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2035$ 이다. 이제 구간 $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}$ 에서 $C(r)$ 을 최소로 만드는 값을 찾는다.

$C$ 의 도함수를 구하면 $C'(r) = -\frac{4000}{r^2} + \frac{88 \pi}{3}r$ 이다. $C'(r) = 0$ 으로 놓으면

$$\frac{4000}{r^2} = \frac{88 \pi}{3}r$$

이고, 따라서

$$4000 \cdot \frac{3}{88 \pi} = r^3\,.$$ 그러므로 $r^3 = \frac{1500}{11 \pi}$ 이고, $r = \sqrt[3]{\frac{1500}{11 \pi}} \approx 3.5144$ 가 $C$ 의 유일한 임계수이다. 이 값은 구간 $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2035$ 안에 있음을 확인하자.

구간 $0 < r < \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}}$ 에서 도함수 $y = C'(r)$ 의 그래프를 그려 보면, $0 < r < 3.5144$ 에서는 $C'(r) < 0$ 이고 $3.5144 < r < 6.2035$ 에서는 $C'(r) > 0$ 이다. 이는 $C$ 가 임계수 이전에는 감소하고 임계수 이후에는 증가함을 보여 주므로, $C$ 는 $C(\sqrt[3]{\frac{1500}{11 \pi}}) \approx 1707.27$ 에서 최솟값을 가진다. 따라서 주어진 조건에서 원하는 탱크를 만드는 데 드는 최소 비용은 $1707.27이다.