직선과 평면의 방정식

(a) 직선 $L$ 이 $xy$평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$, $x - y + 2z = 0$, 그리고 $z=0$ 을 만족한다. $z=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + y = 6$, $x - y = 0$ 으로 간단해진다. 따라서 교점은 $(3,3,0)$ 이다.

직선 $L$ 이 $xz$평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$, $x - y + 2z = 0$, 그리고 $y=0$ 을 만족한다. $y=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $x + z = 6$, $x +2z = 0$ 으로 간단해진다. $x=-2z$ 를 $x+z=6$ 에 대입하면 $-z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(12,0,-6)$ 이다.

직선 $L$ 이 $yz$평면과 만나는 점은 $x + y + z = 6$, $x - y + 2z = 0$, 그리고 $x=0$ 을 만족한다. $x=0$ 일 때 $L$ 의 방정식은 $y + z = 6$, $-y +2z = 0$ 으로 간단해진다. $y=2z$ 를 $y+z=6$ 에 대입하면 $3z=6$ 이다. 따라서 교점은 $(0,4,2)$ 이다.

(b) 핵심은 이 직선의 방향벡터 $\mathbf{d}$ 를 구하는 것이다.

• 직선이 $y=z$ 에 평행해야 하므로, $\mathbf{d}$ 는 $y=z$ 의 법선벡터 $\left< 0,1,-1\right>$ 에 수직이어야 한다.
• 또한 $\mathbf{d}$ 는 $L$ 에도 수직이어야 한다. 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x+y = 6-z$ 와 $x-y =-2z$ 를 만족해야 한다. 이 두 식을 더하면 $2x=6-3z$ 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 $2y= 6+z$ 이다. 따라서 점 $(x,y,z)$ 가 $L$ 위에 있으려면 $x=3-\frac{3z}{2}$, $y=3+\frac{z}{2}$ 를 만족해야 한다. $L$ 위의 점 중 $z=0$ 인 점은 $(3,3,0)$ 이고 $z=2$ 인 점은 $(0,4,2)$ 이다. 따라서 $\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right>$ 는 $L$ 의 방향벡터이다.

그러므로 $\mathbf{d}$ 는 $\left< 0,1,-1\right>$ 과 $\left< -3,1,2 \right>$ 모두에 수직이어야 하고, 따라서 다음 벡터의 0이 아닌 상수배이다.

$$\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}$$

$\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$ 로 택한다. 따라서

$$\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>$$

는 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이다. 이를 $x=10+t$, $y=11+t$, $z=13+t$ 로 쓸 수도 있다.