직선과 평면의 방정식 연습문제 — OpenStax 3권 · 2.5절 · 17번

OpenStax 3권 · 2.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

방정식 $x=-2y=3z$ 인 직선과 $x=-5-t,y=-1+t,z=t-11,$ $t\in \mathbb{R}$ 인 직선의 교점을 구하세요.

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Find the point of intersection of the lines of equations $x=-2y=3z$ and $x=-5-t,y=-1+t,z=t-11,$ $t\in \mathbb{R}.$

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$(-12,6,-4)$

원본 교재 풀이(영어)

$(-12,6,-4)$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.5절 · 14번우리말 번역

(a) $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있는 $y$ 축 위의 점을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 과 직선 $\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}$ 를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.

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(a) $y$ 축 위의 점 $(0,y,0)$ 이 $(2, 5, -3)$ 과 $(-3, 6, 1)$ 에서 같은 거리에 있을 필요충분조건은

$\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}$

이다.

(b) 두 점 $(1,3,1)$ 과 $\mathbf{r}(0)=(0,0,2)$ 는 모두 평면 위에 있다. 따라서 두 점을 잇는 벡터 $\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right>$ 과 직선의 방향벡터 $\left< 1,1,1\right>$ 은 모두 평면과 평행하다. 그러므로

$\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>$

은 평면에 수직이다. 점 $(0,0,2)$ 가 평면 위에 있고 벡터 $\left< 4,-2,-2\right>$ 가 평면에 수직이므로, 평면의 방정식은

$4(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ 또는 } 2x-y-z=-2$

이다.

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# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류