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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 2.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 세 점 P,Q, 그리고 RP,Q,\,\text{그리고}\,R 이 주어져 있습니다.

a. 세 점 P,Q, 그리고 RP,Q,\,\text{그리고}\,R 을 지나는 평면의 일반 방정식을 구하세요. b. a의 평면에 대하여 벡터 방정식 n⋅PS⃗=0\text{n}\cdot \vec{PS}=0 을 쓰세요. 여기서 S(x,y,z)S(x,y,z) 는 평면 위의 임의의 점입니다. c. 세 점 P,Q, 그리고 RP,Q,\,\text{그리고}\,R 을 지나는 평면에 수직이고 원점을 지나는 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

P(1,1,1),Q(2,4,3)P(1,1,1),Q(2,4,3), 그리고 R(−1,−2,−1)R(-1,-2,-1)

영어 원문 보기

For the following exercises, points P,Q, and RP,Q,\,\text{and}\,R are given.

a. Find the general equation of the plane passing through P,Q, and R.P,Q,\,\text{and}\,R. b. Write the vector equation n⋅PS⃗=0\text{n}\cdot \vec{PS}=0 of the plane at a., where S(x,y,z)S(x,y,z) is an arbitrary point of the plane. c. Find parametric equations of the line passing through the origin that is perpendicular to the plane passing through P,Q, and R.P,Q,\,\text{and}\,R.

P(1,1,1),Q(2,4,3),P(1,1,1),Q(2,4,3), and R(−1,−2,−1)R(-1,-2,-1)

정답·풀이 보기

a. −2y+3z−1=0;-2y+3z-1=0; b. ⟨0,−2,3⟩⋅⟨x−1,y−1,z−1⟩=0;\langle 0,-2,3\rangle \cdot \langle x-1,y-1,z-1\rangle =0; c. x=0,y=−2t,z=3t,x=0,y=-2t,z=3t, t∈Rt\in \mathbb{R}

외적을 계산하는 방식에 따라 답의 부호가 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. −2y+3z−1=0;-2y+3z-1=0; b. ⟨0,−2,3⟩⋅⟨x−1,y−1,z−1⟩=0;\langle 0,-2,3\rangle \cdot \langle x-1,y-1,z-1\rangle =0; c. x=0,y=−2t,z=3t,x=0,y=-2t,z=3t, t∈Rt\in \mathbb{R}

Answers may vary by a sign, depending on how the vector cross multiplication is performed.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.5절 · 2번우리말 번역

가능하다면, 3차원 공간에서 다음 조건을 만족하는 직선 네 개를 구하세요.

  • 어떤 두 직선도 서로 평행하지 않고,
  • 어떤 두 직선도 서로 만나지 않는다.
다 풀었으면 정답 확인

정답은 무수히 많다. 그중 하나는

L1: <x , y , z−1>=t<1,0,0>L2: <x , y , z−2>=t<0,1,0>L3: <x , y , z−3>=t<1,1,0>L4: <x , y , z−4>=t<1,−1,0>\begin{aligned} L_1:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-1\right> &= t\left< 1,0,0\right> & L_2:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-2\right> &= t\left< 0,1,0\right> \\ L_3:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-3\right> &= t\left< 1,1,0\right> & L_4:\ \left< x\,,\,y\,,\,z-4\right> &= t\left< 1,-1,0\right> \end{aligned}

이다.

어떤 두 직선도 평행하지 않다. 그 이유는 다음과 같다.

  • L1L_1 과 L2L_2 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,0,0>×<0,1,0>=<0,0,1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 0,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L1L_1 과 L3L_3 은 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,0,0>×<1,1,0>=<0,0,1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L1L_1 과 L4L_4 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,0,0>×<1,−1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 1,0,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L2L_2 와 L3L_3 은 평행하지 않다. 왜냐하면 <0,1,0>×<1,1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L2L_2 와 L4L_4 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <0,1,0>×<1,−1,0>=<0,0,−1>≠0\left< 0,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-1\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.
  • L3L_3 과 L4L_4 는 평행하지 않다. 왜냐하면 <1,1,0>×<1,−1,0>=<0,0,−2>≠0\left< 1,1,0\right>\times \left< 1,-1,0\right>=\left< 0,0,-2\right>\ne\mathbf{0} 이기 때문이다.

어떤 두 직선도 만나지 않는다. 그 이유는 다음과 같다.

  • L1L_1 위의 모든 점은 z=1z=1 이고
  • L2L_2 위의 모든 점은 z=2z=2 이고
  • L3L_3 위의 모든 점은 z=3z=3 이고
  • L4L_4 위의 모든 점은 z=4z=4 이다.
이 문제로 이어서 풀기
# 직선과 평면의 방정식계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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