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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 2.5절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 시각 t∈[0,3]t\in [0,3] 에서 입자의 위치 벡터가 r(t)=⟨sin⁡ t,cos⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \sin \,t,\cos \,t,2t\rangle 라고 하세요. 여기서 r 의 성분은 센티미터 단위로, 시간은 초 단위로 나타냅니다. OP⃗\vec{OP} 를 11 초 후 입자의 위치 벡터라고 하세요.

a. 11 초 후 입자의 속도 벡터 v(1)\text{v}(1) 을 구하세요. b. v(1)\text{v}(1) 에 수직이고 점 PP 를 지나는 평면의 스칼라 방정식을 구하세요. 이 평면을 점 PP 에서 입자의 경로에 대한 법평면이라고 합니다. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 점 PP 에서 입자의 경로, 속도 벡터, 법평면을 함께 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider r(t)=⟨sin⁡ t,cos⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \sin \,t,\cos \,t,2t\rangle the position vector of a particle at time t∈[0,3],t\in [0,3], where the components of r are expressed in centimeters and time is measured in seconds. Let OP⃗\vec{OP} be the position vector of the particle after 11 sec.

a. Determine the velocity vector v(1)\text{v}(1) of the particle after 11 sec. b. Find the scalar equation of the plane that is perpendicular to v(1)\text{v}(1) and passes through point P.P. This plane is called the normal plane to the path of the particle at point P.P. c. Use a CAS to visualize the path of the particle along with the velocity vector and normal plane at point P.P.

정답·풀이 보기

a. v(1)=⟨cos⁡ 1,−sin⁡ 1,2⟩;\text{v}(1)=\langle \cos \,1,-\sin \,1,2\rangle ; b. (cos⁡ 1)(x−sin⁡ 1)−(sin⁡ 1)(y−cos⁡ 1)+2(z−2)=0;(\cos \,1)(x-\sin \,1)-(\sin \,1)(y-\cos \,1)+2(z-2)=0;

c.

이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간이다. 평면을 나타내는 평행사변형 모양의 격자가 그려져 있다. y = 1 에서 시작하여 증가하는 곡선이 있다. 이 곡선은 평면과 만난다. 곡선이 평면과 만나는 점에는 “v(1)” 이라고 표시된 벡터가 있다. 이 벡터는 z축에 평행하게 위쪽을 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. v(1)=⟨cos⁡ 1,−sin⁡ 1,2⟩;\text{v}(1)=\langle \cos \,1,-\sin \,1,2\rangle ; b. (cos⁡ 1)(x−sin⁡ 1)−(sin⁡ 1)(y−cos⁡ 1)+2(z−2)=0;(\cos \,1)(x-\sin \,1)-(\sin \,1)(y-\cos \,1)+2(z-2)=0;

c.

This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system. It has a parallelogram grid drawn representing a plane. There is a curve from y = 1 increasing. The curve intersects the plane. At the point the curve intersects the plane, there is a vector labeled “v(1).” It is upward parallel to the z-axis.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.5절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서 평면의 방정식이 주어져 있습니다.

a. 평면의 법선벡터 n\text{n} 을 구하세요. n\text{n} 을 표준 단위벡터로 나타내세요. b. 평면과 좌표축이 만나는 점을 구하세요. c. 평면의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 4x+5y+10z−20=04x+5y+10z-20=0

다 풀었으면 정답 확인

a. n=4i+5j+10k;\text{n}=4\text{i}+5\text{j}+10\text{k}; b. (5,0,0),(5,0,0), (0,4,0)(0,4,0), 그리고 (0,0,2);(0,0,2);

c.

이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간이다. x축, y축, z축 위에 꼭짓점을 둔 삼각형이 그려져 있다.

이 문제로 이어서 풀기
# 직선과 평면의 방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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