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원기둥좌표와 구면좌표

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 2.7절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 방정식 (x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}) 으로 나타내어지는 토러스를 생각하세요. 단, R≥r>0.R\ge r>0.

a. 이 토러스의 방정식을 구면좌표로 나타내세요. b. R=rR=r 이면 이 곡면을 뿔 토러스라고 한다. 뿔 토러스의 구면좌표 방정식이 ρ=2R sin⁡ φ\rho =2R\,\sin \,\varphi 임을 보이세요. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 R=r=2R=r=2 인 뿔 토러스를 구면좌표로 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the torus of equation (x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2),{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+{R}^{2}-{r}^{2})}^{2}=4{R}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}), where R≥r>0.R\ge r>0.

a. Write the equation of the torus in spherical coordinates. b. If R=r,R=r, the surface is called a horn torus. Show that the equation of a horn torus in spherical coordinates is ρ=2R sin⁡ φ.\rho =2R\,\sin \,\varphi . c. Use a CAS to graph the horn torus with R=r=2R=r=2 in spherical coordinates.

정답·풀이 보기

a. ρ2=0,{\rho }^{2}=0, ρ+R2−r2−2R sin⁡ φ=0;\rho +{R}^{2}-{r}^{2}-2R\,\sin \,\varphi =0;

c.

이 그림은 토러스이다. 토러스는 상자 안에 있다. 상자의 모서리는 x축, y축, z축을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ρ2=0,{\rho }^{2}=0, ρ+R2−r2−2R sin⁡ φ=0;\rho +{R}^{2}-{r}^{2}-2R\,\sin \,\varphi =0;

c.

This figure is a torus. It is inside of a box. The edges of the box represent the x, y, and z axes.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 2.7절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서는 원기둥좌표로 나타낸 곡면의 방정식이 주어져 있다.

이 곡면의 방정식을 직교좌표로 나타내세요. 곡면이 무엇인지 말하고 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] r=2 cos⁡ θr=2\,\cos \,\theta

다 풀었으면 정답 확인

방정식이 x2−2x+y2=0{x}^{2}-2x+{y}^{2}=0 인 원기둥이며, 중심은 (1,0,0)(1,0,0) 이고 반지름은 11 이며, 모선은 z축에 평행하다.

이 그림은 세워진 직원기둥이다. 원기둥은 상자 안에 있다. 상자의 모서리는 x축, y축, z축을 나타낸다.

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# 원기둥좌표와 구면좌표증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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