벡터함수의 미분과 적분

다음이 주어져 있다.

$$\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}$$

따라서 정의에 의해

$$\begin{aligned} \text{속도}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{속력}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{가속도}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$$

$t$ 가 길이 $2\pi$ 인 구간을 움직이는 동안 $(x,y)$ 는 반지름이 $a$ 인 원을 그리고 $z$ 는 $2\pi c$ 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 $a$ 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 $2\pi c$ 만큼 올라가는 나선이다.