벡터함수의 미분과 적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 3.2절 · 33번

OpenStax 3권 · 3.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

벡터함수로 나타낸 곡선을 따라 움직이는 입자의 속력이 상수이면, 속도 함수는 항상 가속도 함수와 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if the speed of a particle traveling along a curve represented by a vector-valued function is constant, then the velocity function is always perpendicular to the acceleration function.

정답·풀이 보기

$\begin{array}{ccc}\| \text{v}(t)\| & = & k \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}(t) & = & k \\ \frac{d}{dt}(\text{v}(t)\cdot \text{v}(t)) & = & \frac{d}{dt}k=0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t)+\text{v}'(t)\cdot \text{v}(t) & = & 0 \\ 2\text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0.\end{array}$

마지막 식은 속도와 가속도가 수직, 즉 직교함을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

The last statement implies that the velocity and acceleration are perpendicular or orthogonal.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 3.2절 · 43번우리말 번역

한 입자가 방정식 $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}$ 인 나선 경로를 따라 움직인다. 그래프는 다음과 같다.

다음을 구하세요.

임의의 시각에서 입자의 속도

다 풀었으면 정답 확인

$\text{v}(t)=\langle -\sin t,\cos t,1\rangle$

이 문제로 이어서 풀기

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