빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 3.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

곡선 r(t)=⟨t+cos⁡t,t−sin⁡t⟩\text{r}(t)=\langle t+\cos t,t-\sin t\rangle t∈[0,2π)t\in [0,2\pi ) 을 따라 움직이는 입자의 최소 속력을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum speed of a particle traveling along the curve r(t)=⟨t+cos⁡t,t−sin⁡t⟩\text{r}(t)=\langle t+\cos t,t-\sin t\rangle t∈[0,2π).t\in [0,2\pi ).

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

3−22\sqrt{3-2\sqrt{2}}

원본 교재 풀이(영어)

3−22\sqrt{3-2\sqrt{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.6절 · 30번우리말 번역

(a) 곡선 r1(t)=<1+t,t2,t3>\mathbf{r}_1(t)=\left< 1+t, t^2, t^3\right> 과 r2(t)=<cos⁡t,sin⁡t,t>\mathbf{r}_2(t)=\left< \cos t, \sin t, t\right> 는 점 P(1,0,0)P(1,0,0) 에서 만난다. 점 PP 에서 두 곡선이 만나는 각을 구하세요. (b) 평면 x+y−z=4x+y-z=4 와 2x−z=42x-z=4 의 교선과 직선 r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> 사이의 거리를 구하세요.

답 쓰고 채점
(a)
°
(b)
다 풀었으면 정답 확인

(a) 두 곡선의 접선벡터는 다음과 같다.

r1′(t)=<1,2t,3t2>r2′(t)=<−sin⁡t,cos⁡t,1>\mathbf{r}'_1(t)=\left< 1, 2t, 3t^2\right>\qquad \mathbf{r}'_2(t)=\left<-\sin t, \cos t, 1\right>

두 곡선은 모두 t=0t=0 일 때 PP 를 지나므로 이때의 접선벡터는 다음과 같다.

r1′(0)=<1,0,0>r2′(0)=<0,1,1>\mathbf{r}'_1(0)=\left< 1, 0, 0\right>\qquad \mathbf{r}'_2(0)=\left< 0, 1, 1\right>

따라서 두 곡선이 만나는 각 θ\theta 는 다음 식으로 정해진다.

r1′(0)⋅r2′(0)=∣r1′(0)∣ ∣r2′(0)∣ cos⁡θ  ⟹  <1,0,0>⋅<0,1,1>=1⋅2⋅cos⁡θ  ⟹  cos⁡θ=0  ⟹  θ=90∘\begin{aligned} \mathbf{r}'_1(0)\cdot\mathbf{r}'_2(0)=|\mathbf{r}'_1(0)|\,|\mathbf{r}'_2(0)|\,\cos\theta &\implies \left< 1, 0, 0\right>\cdot\left< 0, 1, 1\right>=1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta \\ &\implies\cos\theta=0\implies \theta=90^\circ \end{aligned}

(b) 풀이 전략은 다음과 같다.

  • 시점이 한 직선 위에 있고 종점이 다른 직선 위에 있는 벡터 v\mathbf{v} 를 구한다.
  • 두 직선에 모두 수직인 벡터 n\mathbf{n} 을 구한다.
  • 그러면 v\mathbf{v} 와 n\mathbf{n} 사이의 각을 θ\theta 라 할 때, 두 직선 사이의 거리는 ∣v∣cos⁡θ=∣v⋅n∣∣n∣|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} 이다.

이제 풀어 보자.

  • 먼저 v\mathbf{v} 를 구한다.

  • 직선 r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> 위의 한 점은 r(0)=<0,−1,1>\mathbf{r}(0)=\left< 0,-1,1\right> 이다.

  • (x,y,z)(x,y,z) 가 다른 직선 위에 있을 필요충분조건은 x+y−z=4x+y-z=4 이고 2x−z=42x-z=4 인 것이다. 특히 z=0z=0 이면 x+y=4x+y=4 이고 2x=42x=4 이므로 x=2x=2, y=2y=2 이다.

  • 따라서 벡터 v=<2−0 , 2−(−1) , 0−1>=<2,3,−1>\mathbf{v}=\left< 2-0\,,\,2-(-1)\,,\,0-1\right>=\left< 2,3,-1\right> 은 종점이 한 직선 위에 있고 시점이 다른 직선 위에 있다.

  • 다음으로 두 직선에 모두 수직인 벡터 n\mathbf{n} 을 구한다.

  • 먼저 직선 x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 의 방향벡터를 구한다. x=y=2x=y=2, z=0z=0 이 이 직선 위의 점임은 이미 알고 있다. 이 직선 위의 두 번째 점은, 예를 들어 z=2z=2 로 놓고 x+y=6x+y=6, 2x=62x=6 을 풀면 x=3x=3, y=3y=3 으로 구할 수 있다. 따라서 직선 x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 의 방향벡터 하나는 d1=<3−2 , 3−2 , 2−0>=<1,1,2>\mathbf{d}_1=\left<3-2\,,\,3-2\,,\,2-0 \right> = \left< 1,1,2\right> 이다.

  • 직선 x+y−z=4x+y-z=4, 2x−z=42x-z=4 의 방향벡터를 구하는 두 번째 방법은 다음과 같다. <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 은 x+y−z=4x+y-z=4 의 법선벡터이므로 이 직선에 수직이고, <2,0,−1>\left< 2,0,-1\right> 은 2x−z=42x-z=4 의 법선벡터이므로 역시 이 직선에 수직이다. 따라서 <1,1,−1>×<2,0,−1>\left< 1,1,-1\right>\times\left< 2,0,-1\right> 이 이 직선의 방향벡터이다.

  • 직선 r(t)=<t,−1+2t,1+3t>\mathbf{r}(t)=\left< t, -1+2t, 1+3t\right> 의 방향벡터는 d2=r′(t)=<1,2,3>\mathbf{d}_2=\mathbf{r}'(t)=\left< 1,2,3\right> 이다.

  • 그러므로

n=d2×d1=det⁡[ı^ȷ^k^123112]=ı^+ȷ^−k^\mathbf{n}=\mathbf{d}_2\times\mathbf{d}_1 =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right] = \hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} -\hat{\mathbf{k}}

은 두 직선에 모두 수직이다.

따라서 두 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

∣v∣cos⁡θ=∣v⋅n∣∣n∣=<2,3,−1>⋅<1,1,−1>∣<1,1,−1>∣=63=23|\mathbf{v}|\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} =\frac{\left< 2,3,-1\right> \cdot\left< 1,1,-1\right>}{|\left< 1,1,-1\right>|} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터함수의 미분과 적분활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「벡터함수의 미분과 적분」 문제 목록으로