빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

호의 길이와 곡률

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 3.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

주어진 구간에서 곡선의 길이를 구하세요.

r(t)=t2i+(2t2+1)j, 1≤t≤3\text{r}(t)={t}^{2}\text{i}+(2{t}^{2}+1)\text{j},\,1\le t\le 3

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve on the given interval.

r(t)=t2i+(2t2+1)j, 1≤t≤3\text{r}(t)={t}^{2}\text{i}+(2{t}^{2}+1)\text{j},\,1\le t\le 3

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정답·풀이 보기

858\sqrt{5}

원본 교재 풀이(영어)

858\sqrt{5}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.2절 · 6번우리말 번역

다음과 같이 정의하세요. r(t)=(11+t2, arctan⁡t1+t−2, arctan⁡t)\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right) 단, 0≤t0 \le t 입니다. z=arctan⁡tz=\arctan t 를 사용하여 이 함수를 다시 매개화하고, 그것이 나타내는 곡선을 설명하세요. 새로운 매개변수 zz 의 기하학적 의미는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

arctan⁡t=z\arctan t = z 이므로 t=tan⁡zt=\tan z 이다.

r(t)=(11+t2, arctan⁡t1+t−2, arctan⁡t)=(11+tan⁡2z, z1+cot⁡2z, z)=(1∣sec⁡z∣, z∣csc⁡z∣, z)=(∣cos⁡z∣, z∣sin⁡z∣, z)0≤t 이고 arctan⁡t<π/2 이므로 0≤z<π/2 이고, 따라서 cos⁡z 와 sin⁡z 는 모두 음이 아니다.=(cos⁡z, zsin⁡z, z)\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},~ \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}},~\arctan t\right)\\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2z}},~ \frac{z}{\sqrt{1+\cot^{2}z}},~z\right)\\ &=\left(\frac{1}{|\sec z|},~ \frac{z}{|\csc z|},~z\right)\\ &=\left(|\cos z|,~ z|\sin z|,~z\right) \\ \text{$0 \le t $ 이고 $\arctan t < \pi/2$ 이므로 $0 \le z < \pi/2$ 이고, 따라서 $\cos z$ 와 $\sin z$ 는 모두 음이 아니다.} \\ &=\left(\cos z,~ z\sin z,~z\right) \end{aligned}

정의역을 제한하지 않았다면 이 곡선은 위로 올라가는 나선이 된다. zz 는 나선의 높이이면서 동시에 라디안 값이다. 나선의 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 성분은 −1-1 과 11 사이에 머무르고, ȷ^\hat{\boldsymbol{\jmath}} 성분은 증가한다. 따라서 이 나선은 "두께"는 그대로이면서 점점 더 "넓어진다".

그림

정의역이 제한되어 있으므로 실제 곡선은 이 나선의 4분의 1 "바퀴"뿐이며, 위 그림에서 빨간색으로 표시되어 있다.

매개변수 zz 는 높이를 나타내는 값이며, 나선이 돌아가는 동안의 라디안 값이기도 하다.

이 문제로 이어서 풀기
# 호의 길이와 곡률계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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